Калькулятор корней полинома
Найдите все действительные и комплексные корни полинома степени 1–12. Введите коэффициенты от члена высшей степени вниз, и получите точные формулы для степени ≤ 2 или итерацию Дюрана–Кернера для более высоких степеней.
Ввод
Коэффициенты, разделённые запятыми или пробелами, от члена высшей степени до свободного члена (степени 1–12). Поддерживаются десятичные дроби.
Вывод
| Корень | Действительная часть | Мнимая часть |
|---|---|---|
| No data yet | ||
Другие способы использовать этот инструмент
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/polynomial-roots-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"coefficients": "1, -5"
}'Подставьте свой собственный ключ из аккаунта. Поля инструмента — это тело запроса, без обёртки.
Спросите у ИИ-агента
Use the IOTools `polynomial-roots-calculator` tool (Polynomial Roots Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREВставьте это любому агенту, подключённому к MCP-серверу IOTools, и добавьте свой ввод.
Виджет для встраивания
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/polynomial-roots-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="Калькулятор корней полинома — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>Вставьте это на свою страницу — бесплатно, без ключа, нужна лишь обратная ссылка.
| Стоимость вызова API/MCP | От 5 кредитов |
|---|
Также доступно через
Руководства
Поиск всех корней полинома вручную хорошо работает только до степени 2 — выше неё нет общей алгебраической формулы, и поиск действительных или комплексных корней путём пробной подстановки быстро становится ненадёжным. Этот калькулятор решает их все сразу: действительные, иррациональные и комплексные, для любого полинома степени 1–12.
Как использовать
- Введите коэффициенты полинома, сначала высшую степень — для x³ − 6x² + 11x − 6 введите
1, -6, 11, -6(отсутствующий член равен нулю, и это важно: не пропускайте его). - Прочитайте разобранное уравнение (чтобы подтвердить, что оно соответствует вашему намерению), полную таблицу корней и метод, который их найти.
Поддерживаются десятичные дроби — коэффициенты не обязательно должны быть целыми числами.
Метод
- Степень 1: решается напрямую, x = −b⁄a.
- Степень 2: квадратная формула, x = (−b ± √(b² − 4ac)) ⁄ 2a — положительный дискриминант даёт два действительных корня, нулевой даёт кратный действительный корень, а отрицательный дискриминант даёт пару комплексно сопряжённых корней.
- Степень 3–12: итерация Дюрана–Кернера, численный метод, который уточняет все n корней одновременно на каждом шаге — r ← r − f(r) ⁄ Π(r − rⱼ) для каждого другого текущего предположения корня — начиная с точек, распределённых вокруг круга, масштабируемого так, чтобы ограничить каждый корень (граница Коши). Она сходится ко всему набору действительных и комплексных корней одновременно, вот почему это стандартный подход, когда не существует формулы в замкнутом виде.
Крошечный остаток с плавающей точкой (намного меньше любой отображаемой цифры) округляется в точно 0, так что корень, который действительно является действительным, не показывает случайную мнимую часть вроде 1e-14i.
FAQ
Почему кубический многочлен иногда показывает один действительный корень и пару комплексных, а иногда три действительных корня?
Это определяется самим полиномом, а не методом — кубический многочлен с действительными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный корень и либо два дополнительных действительных корня, либо пару комплексно сопряжённых корней. Калькулятор находит то, что фактически производят коэффициенты.
Насколько точны корни?
Дюран–Кернера итерирует до тех пор, пока корни не перестанут движущихся более чем на 1e-13, затем результаты отображаются с 6 значащими цифрами — достаточная точность для любого практического использования, хотя это численное приближение, а не точная замкнутая форма для степени 3 и выше.
Какой максимальной степени полином может быть обработан?
Степень 12 (13 коэффициентов). Сверх этого поиск корней становится численно нестабильным для калькулятора общего назначения — коэффициенты полинома высокой степени могут быть чрезвычайно чувствительны к точным позициям его корней.
Связанные инструменты
Для поиска только рациональных корней на полиномах с целыми коэффициентами — с точными дробями и выписанной факторизованной формой — смотрите Калькулятор факторизации полиномов. Для квадратного многочлена с полным пошаговым выводом смотрите Калькулятор квадратной формулы. Чтобы разделить полином на известный корень и проверить остаток, смотрите Калькулятор синтетического деления.
Приватность
Все вычисления выполняются полностью в вашем браузере — коэффициенты, которые вы вводите, никогда не отправляются на сервер.