Калькулятор теста сходимости рядов

Калькулятор теста сходимости рядов определяет, сходится ли бесконечный ряд абсолютно, условно или расходится — для p-ряда, геометрического ряда, знакопеременного ряда и трех других стандартных семейств рядов. Показывает точные пределы тестов отношения и корня, тест расходимости (тест на n-й член), какое правило реально определило результат и бегущие частичные суммы.

Как это использовать

1. Выберите семейство рядов — p-ряд, геометрический, знакопеременный p-ряд, многочлен × геометрический, экспоненциальный на факториал или знакопеременный рациональный ряд.
2. Заполните параметры этого семейства — показатель степени, отношение или основание — и начальный индекс n₀.
3. Выберите, сколько частичных сумм показывать.
4. Прочитайте Результат и Решающее правило для ответа и точной теоремы позади него, или Пошаговый вывод для полной картины.

Почему не просто взять пробы теста отношения при большом n?

Большинство калькуляторов сходимости приблизительно определяют тесты отношения и корня, оценивая ряд при одном большом n и надеясь, что тренд установился. Это не срабатывает на самом распространенном вопросе сходимости: для p-ряда (Σ 1/nᵖ) предел теста отношения и предел теста корня оба ровно 1 для каждого значения p — так что никакое количество численной выборки не может когда-либо отличить сходящийся ряд p = 2 от расходящегося ряда p = 1 (гармонического). Этот калькулятор вместо этого классифицирует каждое семейство с помощью его точного замкнутого аналитического критерия — теста p-ряда, теста геометрического ряда, теста знакопеременного ряда или сравнения пределов — и сообщает ТОЧНЫЙ предел теста отношения/корня (0, |r| или 1), а не приблизительное значение с плавающей точкой.

Шесть семейств рядов

• p-ряд — Σ 1/nᵖ. Сходится (абсолютно) тогда и только тогда, когда p > 1; расходится в противном случае. Это гармонический ряд при p = 1.
• Геометрический ряд — Σ rⁿ. Сходится (абсолютно) тогда и только тогда, когда |r| < 1.
• Знакопеременный p-ряд — Σ (-1)ⁿ/nᵖ. Сходится абсолютно для p > 1, сходится условно для 0 < p ≤ 1 (по тесту знакопеременного ряда, даже хотя тест p-ряда говорит, что сам Σ 1/nᵖ расходится там), и расходится для p ≤ 0.
• Многочлен × геометрический — Σ nᵃ·rⁿ. Тест отношения один определяет его всякий раз, когда |r| ≠ 1 (геометрический фактор всегда побеждает многочленный); при |r| = 1 сводится к простому или знакопеременному p-ряду в nᵃ.
• Экспоненциальный на факториал — Σ bⁿ/n!. Сходится абсолютно для каждого действительного b, потому что n! в конечном итоге растет быстрее, чем любой фиксированный экспоненциальный bⁿ — предел теста отношения всегда 0. (Этот ряд суммируется к eᵇ.)
• Знакопеременный рациональный — Σ (-1)ⁿ·n/(n²+a). Сходится условно для каждого a ≥ 0: члены стремятся к 0, но беззнаковый ряд расходится как гармонический ряд по сравнению пределов.

Что означают «абсолютно», «условно» и «расходится»

• Сходится абсолютно — Σ |aₙ| тоже сходится. Ряд сходится независимо от порядка, в котором суммируются его члены.
• Сходится условно — Σ aₙ сходится, но Σ |aₙ| не сходится. Переупорядочение членов условно сходящегося ряда может изменить его сумму (или заставить его расходиться) — теорема рядов Римана.
• Расходится — частичные суммы не устанавливаются на конечное значение.

Конфиденциальность

Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Выбранное вами семейство рядов, параметры и начальный индекс никогда не загружаются, не регистрируются и не сохраняются.