Решатель системы линейных уравнений
Решите систему n×n линейных уравнений (2–8 неизвестных) с точной дробной арифметикой — получите уникальное решение, параметрическую форму для бесконечного количества решений или подтверждение того, что решения не существует.
Ввод
Каждая строка — это одно уравнение: его коэффициенты, за которыми следует константа, разделённые запятой или пробелом — например, «2, 1, 5» означает 2x₁ + x₂ = 5. Количество введённых строк определяет размер системы (2–8 неизвестных), поэтому каждая строка должна содержать ровно столько коэффициентов плюс одну константу. Значения могут быть целыми числами, десятичными дробями или точными дробями вроде 1/2.
Вывод
| Переменная | Значение |
|---|---|
| No data yet | |
Другие способы использовать этот инструмент
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/system-of-linear-equations-solver \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"equations": "2, 1, 5\n1, -1, 1"
}'Подставьте свой собственный ключ из аккаунта. Поля инструмента — это тело запроса, без обёртки.
Спросите у ИИ-агента
Use the IOTools `system-of-linear-equations-solver` tool (System of Linear Equations Solver) on this input:
YOUR_INPUT_HEREВставьте это любому агенту, подключённому к MCP-серверу IOTools, и добавьте свой ввод.
Виджет для встраивания
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/system-of-linear-equations-solver/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="Решатель системы линейных уравнений — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>Вставьте это на свою страницу — бесплатно, без ключа, нужна лишь обратная ссылка.
| Стоимость вызова API/MCP | От 5 кредитов |
|---|
Также доступно через
Руководства
Решить систему вручную — исключение, обратная подстановка, сохранение каждой дроби на протяжении полудюжины уравнений — это именно то, где небольшие арифметические ошибки превращают правильный метод в неправильный ответ. Этот калькулятор выполняет исключение Гаусса–Жордана за вас с точной дробной арифметикой для любой квадратной системы от 2 до 8 неизвестных и ясно сообщает, является ли решение уникальным, содержит свободные параметры или вообще не существует.
Как пользоваться
- Введите одно уравнение в строку как его коэффициенты, за которыми следует константа — для
2x₁ + x₂ = 5введите2, 1, 5. - Количество введённых строк определяет размер системы: 3 строки означают систему 3×3, поэтому каждая из этих 3 строк требует ровно 4 значения (3 коэффициента + константа).
- Прочитайте результат: уникальное значение для каждой переменной, параметрическое выражение для каждой зависимой переменной, когда существует бесконечное количество решений, или «нет решения», когда система несовместима.
Коэффициенты и константы могут быть целыми числами, десятичными дробями или точными дробями вроде 1/2 — все решается с точной рациональной арифметикой, так что результаты никогда не округляются.
Метод
Исключение Гаусса–Жордана приводит расширенную матрицу к приведённой строчно-ступенчатой форме: выберите опорный элемент в каждом столбце (переставляя строки при необходимости), масштабируйте его строку так, чтобы опорный элемент был 1, затем исключите запись каждой другой строки в этом столбце. Оставшееся говорит вам результат:
- Каждая переменная имеет опорный элемент → уникальное решение, прочитанное прямо из столбца констант.
- Столбец не имеет опорного элемента → эта переменная свободна; тогда каждая переменная с опорным элементом выражается как формула через свободные переменные (бесконечное количество решений).
- Строка приводится к нулям слева, но ненулевая константа справа → система несовместима (нет решения).
Сама приведённая матрица также выводится, так что вы можете проследить исключение вместо того, чтобы просто доверять окончательному ответу.
FAQ
Что означает «1 свободный параметр»?
Это означает, что одна переменная может быть любым значением, и каждая другая переменная затем определяется её — приведённый вывод матрицы и выражения для каждой переменной показывают ровно как. Два зависимых уравнения для двух неизвестных (например, x + y = 3 и 2x + 2y = 6) — это самый простой пример: одно уравнение избыточно, поэтому одна переменная свободна.
Почему «нет решения» вместо приблизительного ответа?
Несовместимая система (например, x + y = 1 и x + y = 2) не имеет значений, которые удовлетворяют обоим уравнениям, и округление это не исправит — калькулятор сообщает об этом напрямую вместо возврата вводящей в заблуждение дроби.
Могу ли я решить неквадратную систему (больше уравнений, чем неизвестных, или меньше)?
Нет, этот инструмент это не делает — введите ровно столько уравнений, сколько неизвестных. Для одного линейного уравнения с одним неизвестным см. Решатель линейного уравнения. Для матричной арифметики (сложение, умножение, определитель, обратная матрица) вместо решения системы см. Калькулятор матриц.
Связанные инструменты
Для линейного уравнения с одной переменной используйте Решатель линейного уравнения. Для операций с матрицами, таких как определитель и обратная матрица на матрицах 2×2 и 3×3, используйте Калькулятор матриц.
Приватность
Все вычисления выполняются полностью в вашем браузере — введённые вами уравнения никогда не отправляются на сервер.