Калькулятор рядов Тейлора
Разложите функцию f(x) в полином Тейлора (или Маклорена) о любом центре a до выбранной степени, где каждая производная используется для построения каждого коэффициента и опциональная оценка в точке по сравнению с фактическим значением функции.
Ввод
a = 0 дает ряд Маклорена.
Необязательно — сравнивает приближение полинома с фактическим значением f(x₀). Оставьте пусто для только символического результата.
Вывод
Другие способы использовать этот инструмент
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/taylor-series-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"f": "sin(x)",
"a": "0",
"n": "5",
"x0": "1"
}'Подставьте свой собственный ключ из аккаунта. Поля инструмента — это тело запроса, без обёртки.
Спросите у ИИ-агента
Use the IOTools `taylor-series-calculator` tool (Taylor Series Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREВставьте это любому агенту, подключённому к MCP-серверу IOTools, и добавьте свой ввод.
Виджет для встраивания
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/taylor-series-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="Калькулятор рядов Тейлора — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>Вставьте это на свою страницу — бесплатно, без ключа, нужна лишь обратная ссылка.
| Стоимость вызова API/MCP | От 5 кредитов |
|---|---|
| Нужно больше кредитов? | Посмотреть тарифы |
Также доступно через
Руководства
Калькулятор рядов Тейлора разложит функцию f(x) в полином Тейлора относительно любого центра a до выбранной вами степени (1-10). Он показывает каждую производную, используемую для построения каждого коэффициента, результирующий полином, и — если вы предоставите точку x₀ — насколько хорошо полином приближает фактическое значение f(x₀).
Это инструмент для студентов, изучающих исчисление и проверяющих домашние задания по рядам Тейлора или Маклорена, и для всех, кто хочет увидеть почему приближение рядом работает: каждый член поступает непосредственно из производной, вычисленной в центре, деленной на факториал, ничего не скрыто.
Как это использовать
- Введите вашу функцию f(x) — стандартная математическая нотация работает:
^для степеней,*для умножения, плюсsqrt(),sin(),cos(),exp(),log()и другие функции, поддерживаемые анализатором выражений mathjs. - Введите центр a — оставьте его на
0для ряда Маклорена (ряд Тейлора с центром в начале координат). - Выберите степень — сколько членов разложения вычислить.
- По желанию введите точку x₀ для сравнения приближения полинома с фактическим значением f в этой точке.
- Прочитайте Полином Тейлора для разложения и Пошаговое выведение для каждой производной и коэффициента, который его построил.
Результаты обновляются автоматически по мере ввода. Например, f = sin(x) относительно a = 0 до степени 5 дает P(x) = x - 0.166667x³ + 0.00833333x⁵ — что в x = 1 приближается к 0.841667, по сравнению с фактическим sin(1) равным 0.841471.
Как вычисляется каждый коэффициент?
Полином Тейлора степени n функции f(x) относительно центра a:
P(x) = f(a) + f′(a)(x - a) + f″(a)/2!·(x - a)² + ... + f⁽ⁿ⁾(a)/n!·(x - a)ⁿКаждый коэффициент — это k-я производная f, вычисленная в центре a, деленная на k!. Этот калькулятор дифференцирует f символически k раз подряд — каждая производная вычисляется из предыдущей — вычисляет каждый результат в a и делит на текущий факториал, поэтому каждый коэффициент в выводе можно отследить до явной производной, которую вы можете проверить вручную.
Почему приближение не совпадает точно?
Полином Тейлора точен только в центре (x = a); везде это приближение, точность которого улучшается по мере увеличения степени и ухудшается, чем дальше x₀ от a. Значение |Ошибка| — это именно этот разрыв — |фактическое f(x₀) − P(x₀)| — поэтому вы можете видеть компромисс напрямую: поднимите ползунок степени для более точного соответствия или переместите x₀ ближе к a.
Какие функции я могу вводить?
Все, что может понимать и дифференцировать оценивающий выражение mathjs: полиномы (x^3 - 2*x), тригонометрические функции (sin(x), cos(x), tan(x)), экспоненты и логарифмы (exp(x), log(x)), корни (sqrt(x)) и комбинации из них, используя x как переменную. Углы в тригонометрических функциях по умолчанию в радианах — напишите pi для π.
Нужна производная неявной функции вместо ряда явной? Смотрите Калькулятор неявной производной. Для градиента многомерной функции или производной по направлению смотрите Калькулятор производной по направлению.
Конфиденциальность
Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваша функция, центр, степень и точка никогда не загружаются, не логируются и не хранятся — вычисления происходят локально на вашем устройстве.