三次方程求解器
使用Cardano方法求解ax³ + bx² + cx + d = 0中的x。返回所有三个根（实数或复数）——附带分步的压低立方导出。
输入
x³的系数。不能为零。
x²的系数。
x的系数。
常数项。
输出
分步解
这对您有帮助吗？
使用指南
这个计算器做什么？
输入三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0 的四个系数 a、b、c、d，此工具将使用 Cardano方法 求解x的全部三个根——实数或复数——并显示分步导出过程以及答案。
如何使用
- 输入 a（x³的系数——不能为零）、b（x²的系数）、c（x的系数）和 d（常数项）。
- 从 根 字段读取三个根，从 判别式（Δ） 读取判别式，从 分步解 读取完整导出过程。
数学
用a除方程得到 x³ + Bx² + Cx + D = 0。代入 x = t − B/3 消除二次项，得到 压低立方：
t³ + pt + q = 0
p = C − B²/3
q = 2B³/27 − BC/3 + D判别式 Δ = (q/2)² + (p/3)³ 的符号决定了根的形状：
- Δ > 0 — 一个实根和一对复共轭根，直接由Cardano根号公式求出：
u = ∛(−q/2 + √Δ)、v = ∛(−q/2 − √Δ)，实根为t = u + v。 - Δ = 0 — 全部三个根都是实数，至少有两个相等：当p和q都为零时的 三重根
t = 0，否则为一个单根和一个重根。 - Δ < 0 — 三个不同的实根。Cardano根号公式在这里需要取实数的复立方根（历史上称为"casus irreducibilis"），因此本计算器使用等价的 三角形式，它完全停留在实数算术范围内。
最后，x = t − B/3 反向代入以恢复原方程的根。
用例
- 代数课程和作业 — 检查三次因式分解或求根工作，包括不能分解成好整数的情况。
- 工程和物理学 — 三次方程出现在梁挠度、流体力学（van der Waals状态方程）和控制系统特征方程中。
- 验证已知因式分解 — 输入你手动因式分解的三次方程的展开系数，并确认根相符。
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"coeffA": "1",
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"coeffC": "11",
"coeffD": "-6"
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