方向导数计算器
计算函数 f(x, y, z) 在某点沿方向向量的方向导数，包括符号和数值梯度、最大变化率以及达到该速率的单位方向。
输入
构建2变量函数？只需从表达式中省略 z。
要计算的点 P = (x, y, z)。
方向向量 v = (a, b, c) — 不需要是单位向量，会自动归一化。
输出
使用此工具的更多方式
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/directional-derivative-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"f": "x^2 + y^2 + z^2",
"x": "1",
"y": "1",
"z": "1",
"a": "1",
"b": "0",
"c": "0"
}'替换成您账户中的密钥。工具的字段即为请求体——没有额外包装。
让 AI 代理执行
Use the IOTools `directional-derivative-calculator` tool (Directional Derivative Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERE将此粘贴给任何已连接 IOTools MCP 服务器的代理,再加上您的输入内容。
嵌入式小组件
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/directional-derivative-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="方向导数计算器 — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>把它放到您自己的页面上——免费,无需密钥,只需保留一个反向链接。
| 每次 API/MCP 调用费用 | 5 积分起 |
|---|---|
| 需要更多积分? | 查看定价 |
也可通过
使用指南
方向导数计算器找到函数 f(x, y, z) 在点 P 沿任何您选择的方向向量的变化率。它显示该点的符号和数值梯度、方向导数本身，以及最大可能的变化率及其达到的确切单位方向 — 包含完整的分步推导。
它是为多元微积分学生检查家庭作业答案而构建的，也适合任何需要方向导数但不想手工区分三个偏导数和规范化向量的人。
如何使用
- 输入您的函数 f(x, y, z) — 标准数学记号有效：
^表示幂，*表示乘法，加上sqrt()、sin()、cos()、log()和 mathjs 的表达式解析器支持的其他函数。在使用2变量函数吗？只需从表达式中省略z。 - 输入要评估的点 (x, y, z)。
- 输入方向向量 (a, b, c) — 不需要是单位向量；计算器会自动规范化。
- 读取 方向导数 D_u f(P) 获得该方向的变化率，梯度 ∇f(P) 获得数值梯度向量，最大变化率 和 最大变化率的方向 获得最快的增长及其指向的方向。
当您输入时，结果会自动更新。例如，在 (1, 2, 3) 处沿方向 (1, 1, 1) 的 f = x*y*z 返回方向导数 6.35085，最大可能变化率 7 沿 (0.857143, 0.428571, 0.285714) 达到。
什么是方向导数？
对于标量函数 f(x, y, z)，沿单位向量 u 的方向导数为:
D_u f(P) = ∇f(P) · u它测量如果从 P 沿方向 u 移动，f 变化的速度 — 这是普通导数（仅告诉您沿一个轴的变化率）对空间中 任何 方向的推广。如果您的方向向量还不是单位向量，则首先对其进行规范化（除以其自身长度），因为只有 v 的方向（而不是大小）应该影响答案。
为什么最大变化率很重要？
当 u 指向与梯度本身 相同 的方向时，点积 ∇f(P) · u 最大 — 这是点积-余弦恒等式的直接结果，因为 cos(0°) = 1 是余弦能取的最大值。因此，梯度始终指向最陡上升的方向，其大小 |∇f(P)| 是 该最大速率。此计算器报告两者：沿您询问的方向的变化率，以及该点可用的最佳可能速率。
我可以输入什么函数？
mathjs 的表达式计算器理解的任何内容：多项式（x^2*y - 2*z）、三角函数（sin(x*z)、cos(y)）、根和对数（sqrt(x)、log(y)）以及这些的组合，使用 x、y 和 z 作为三个变量。三角函数中的角度默认为弧度 — 对于 π，写 pi。
需要向量场的旋度而不是标量函数的梯度？请参阅 旋度计算器。要直接计算任意数学表达式，请参阅 数学计算器。
隐私
此计算器完全在您的浏览器中运行。您的函数、点和方向向量永远不会被上传、记录或存储 — 计算在您的设备上本地进行。