散度计算器
计算三维向量场 F(x, y, z) = (P, Q, R) 在某点的散度，包括简化的符号散度和逐步的偏导数推导。
输入
F(x, y, z) = (P, Q, R) 的 i 分量。
F 的 j 分量。
F 的 k 分量。
计算散度的点 (x, y, z)。
输出
使用此工具的更多方式
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/divergence-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"p": "x^2*y",
"q": "y*z",
"r": "x*z^2",
"x": "1",
"y": "2",
"z": "3"
}'替换成您账户中的密钥。工具的字段即为请求体——没有额外包装。
让 AI 代理执行
Use the IOTools `divergence-calculator` tool (Divergence Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERE将此粘贴给任何已连接 IOTools MCP 服务器的代理,再加上您的输入内容。
嵌入式小组件
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| 每次 API/MCP 调用费用 | 5 积分起 |
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也可通过
使用指南
散度计算器求三维向量场 F(x, y, z) = (P, Q, R) 在某点的 散度 — 一个标量，用于测量向量场从该点流出（或流入）的量。它显示简化后的符号散度（仍是 x、y、z 的函数）以及在所选点处的数值散度值，并提供该点是源、是汇还是中性的明白易懂的描述，以及所有涉及的偏导数的完整逐步推导。
这个工具为学习多变量微积分和向量微积分的学生检查家庭作业答案而设计，也适用于任何需要计算 div F 但不想手工计算三个偏导数的人。
使用方法
- 输入向量场的三个分量: P(x, y, z)、Q(x, y, z) 和 R(x, y, z) — 支持标准数学符号：
^表示幂，*表示乘法，还支持sqrt()、sin()、cos()、log()以及 mathjs 表达式解析器支持的其他函数。 - 输入要计算散度的点 (x, y, z)。
- 查看 div F 在 (x, y, z) 处 的数值散度，或 符号散度 div F 的简化表达式，以及 解释 来了解该点是源、汇还是中性。
- 逐步推导 显示全部三个偏导数、简化的符号散度和最终的数值计算结果。
结果会随着您的输入自动更新。例如，向量场 F = (x^2*y, y*z, x*z^2) 在点 (1, 2, 3) 处的散度为 13 — 这是该点处的纯源。
什么是散度？
对于向量场 F(x, y, z) = (P, Q, R)，散度定义为：
div F = ∇ · F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z从物理意义上讲，散度衡量单位体积在某点处的正净流出量 — 如果将向量场视为流体的速度，正散度 表示流体从该点流出（源），负散度 表示流体流入该点（汇），处处散度为零 表示向量场是 不可压缩的（也称为 无源的或螺线管的） — 流体在任何地方都不会堆积也不会消失。
为什么计算器也显示符号散度？
散度本身是一个标量场 — 关于 (x, y, z) 的函数 — 而不仅仅是某一点的数值。查看代入数值前的简化符号表达式，可以判断 div F 在各处是否为零（不可压缩）、为常数还是随点变化，这是单个计算出的数值无法表示的。某个点的散度可能为零，但整个场可能不是不可压缩的 — 符号形式能立即澄清这一点。
我可以输入哪些函数？
任何 mathjs 表达式求值器支持的函数：多项式（x^2*y - 2*z）、三角函数（sin(x*z)、cos(y)）、根式和对数（sqrt(x)、log(y)），以及这些的组合，使用 x、y 和 z 作为三个变量。三角函数中的角度默认为弧度 — 用 pi 表示 π。
要计算相同类型向量场的旋度（卷度），请参见 旋度计算器；要直接计算任意数学表达式，请参见 Math Evaluator。
隐私
此计算器完全在您的浏览器中运行。您的向量场和点从不上传、记录或存储 — 计算在您的设备上本地进行。