隐函数求导计算器
对x和y的隐函数方程求1阶、2阶或3阶导数，无需先求解y，显示所有偏导数，并可选地在一点进行求值。
输入
可选 — 在某点处计算导数。若仅需符号结果，请将x₀和y₀都留空。
输出
使用此工具的更多方式
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/implicit-derivative-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"lhs": "x^2 + y^2",
"rhs": "25",
"order": "1",
"x0": "3",
"y0": "4"
}'替换成您账户中的密钥。工具的字段即为请求体——没有额外包装。
让 AI 代理执行
Use the IOTools `implicit-derivative-calculator` tool (Implicit Derivative Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERE将此粘贴给任何已连接 IOTools MCP 服务器的代理,再加上您的输入内容。
嵌入式小组件
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/implicit-derivative-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="隐函数求导计算器 — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>把它放到您自己的页面上——免费,无需密钥,只需保留一个反向链接。
| 每次 API/MCP 调用费用 | 5 积分起 |
|---|---|
| 需要更多积分? | 查看定价 |
也可通过
使用指南
隐函数求导计算器对x和y的方程关于x求导——无需先求解y——达到1阶、2阶或3阶导数。它显示所使用的每个偏导数、产生的符号导数，以及在点**(x₀, y₀)**处的可选数值计算。
这个工具是为检查隐函数微分功课的微积分学生设计的，也适合任何需要求圆形、椭圆或笛卡尔叶片等曲线的dy/dx（或更高阶导数）的人。这些情况下不需要手动分离y——大多数隐函数方程实际上不能用初等函数求解。
如何使用
- 输入方程的左边和右边，用x和y表示——标准数学记号均可使用：
^表示幂，*表示乘法，以及sqrt()、sin()、cos()、log()等mathjs表达式解析器支持的其他函数。例如，半径为5的圆在左边是x^2 + y^2，右边是25。 - 选择求导的阶数——1阶导数（dy/dx）、2阶导数（d²y/dx²）或3阶导数（d³y/dx³）。
- 可选地输入点**(x₀, y₀)**获取数值结果——若仅需符号结果，两个都留空。
- 查看隐函数导数获取符号结果，查看分步求导过程获取用到的所有偏导数。
输入时结果会自动更新。例如，圆x^2 + y^2 = 25在点(3, 4)处的结果是dy/dx = -(x / y) = -0.75。
隐函数求导如何工作？
将方程写成H(x, y) = 0（左边减右边），对H(x, y(x)) = 0关于x求导——通过链式法则将y视为x的函数——然后求解导数得到：
dy/dx = -Hx / Hy其中Hx和Hy是H的普通偏导数，每个都通过将另一个变量视为常数来计算。这避免了需要对原方程求解y——对于像笛卡尔叶片（x³ + y³ = 9xy）这样的曲线，这种方式根本不可能用初等函数得到闭形式解。
第2阶和第3阶导数在所得关系式上重复同样的技巧，每次将较低阶的结果代入回去：
d²y/dx² = -(Hxx + 2·Hxy·y′ + Hyy·y′²) / Hy
d³y/dx³ = -(Hxxx + 3·Hxxy·y′ + 3·Hxyy·y′² + Hyyy·y′³ + 3·Hxy·y″ + 3·Hyy·y′·y″) / Hy如果答案同时包含x和y怎么办？
这是预期的——与显函数导数不同，隐函数导数是x和y两者的函数，因为y本身没有被分离。对于上面的圆的例子，dy/dx = -(x / y)只有在你也固定曲线上的一个点（如(3, 4)）后才是一个数字，这正是可选的x₀/y₀字段的用途。
我可以输入哪些函数？
mathjs表达式计算器理解的任何东西：多项式（x^2*y - 2*x）、三角函数（sin(x*y)、cos(y)）、根号和对数（sqrt(x)、log(y)）以及这些的组合，使用x和y作为两个变量。三角函数中的角度默认为弧度——用pi表示π。
使用已经是显函数的函数f(x, y, z)，需要其方向导数或梯度？查看方向导数计算器。要直接计算任意数学表达式，查看数学计算器。
隐私
这个计算器完全在你的浏览器中运行。你的方程、阶数和点从不上传、记录或存储——计算在你的设备上本地进行。