无限级数求和计算器

无限级数求和计算器找到8个经典无限级数的精确闭式和 — 几何级数、p级数、伸缩级数、交替调和级数、莱布尼茨、巴塞尔、指数函数(eˣ)和交替p级数 — 以及收敛的精确理由、使用的公式和部分和表格，显示级数实际收敛到该和的速度有多快(或多慢)。

如何使用

1. 从下拉列表中选择级数族。
2. 填入该族的参数 — 几何级数的首项和公比、p级数的指数、伸缩级数的间隔等。某些族(交替调和、莱布尼茨、巴塞尔)根本没有参数。
3. 选择要显示多少部分和。
4. 阅读精确和和公式，或完整的逐步推导过程以了解收敛判定背后的原因。

为什么一般p级数和交替p级数不是朴素的部分和

对于大多数指数p，Σ 1/nᵖ和Σ (-1)ⁿ⁻¹/nᵖ没有初等闭形式 — 它们真正的"闭形式"是黎曼ζ函数ζ(p)和狄利克雷η函数η(p)。只是将数千个原始项相加的计算器对于p接近1时收敛非常缓慢(交替调和级数需要数十亿项才能达到单位数精度)，对于发散的p级数来说干脆是错误的。这个工具改为:

• 使用欧拉-麦克劳林求和公式评估ζ(p) — mpmath和PARI/GP使用的相同技术 — 对任何p > 1精确到大约14位有效数字，对于偶数整数指数直接显示精确已知值(π²/6, π⁴/90, π⁶/945, π⁸/9450, π¹⁰/93555)。
• 通过对交替级数应用欧拉变换来评估η(p)，这将收敛速度从数千项加速到约30项 — 对任何p > 0精确到大约10位有效数字。

8个级数

• 几何级数 — Σ a·rⁿ。当且仅当|r| < 1时收敛，和为a·rⁿ⁰/(1 − r)。
• p级数 — Σ 1/nᵖ。当且仅当p > 1时收敛，和为ζ(p)(黎曼ζ函数)。
• 伸缩级数 — Σ 1/(n(n + k))。总是收敛，因为1/(n(n+k)) = (1/k)[1/n − 1/(n+k)]抵消了所有内部项。
• 交替调和级数 — Σ (-1)ⁿ⁻¹/n。和为ln 2。
• 莱布尼茨 — Σ (-1)ⁿ/(2n + 1)。和为π/4 — 常见应用中收敛最缓慢的级数之一(arctan(1))。
• 巴塞尔问题 — Σ 1/n²。和为π²/6，欧拉著名的1734年结果。
• 指数级数 — Σ xⁿ/n!。对所有实数x收敛，和为eˣ。
• 交替p级数 — Σ (-1)ⁿ⁻¹/nᵖ。当且仅当p > 0时收敛(对于0 < p ≤ 1为条件收敛)，和为η(p)(狄利克雷η函数; η(1) = ln 2准确)。

要反向进行 — 将函数展开成幂级数而非求级数的和 — 请查看泰勒级数计算器，或使用级数收敛测试计算器检查您已有的级数是否收敛。

隐私

该计算器完全在您的浏览器中运行。您选择的级数族和参数永远不会被上传、记录或存储。