雅可比矩阵计算器
构建向量值函数的一阶偏导数雅可比矩阵，包含矩阵为方阵时的符号行列式、可逆性判定和任意点处的数值计算。
输入
最多4个表达式，每行一个或用分号分隔。
最多4个单字母变量。
每个变量一个值，用逗号分隔。留空仅显示符号雅可比矩阵。
输出
| No data yet |
使用此工具的更多方式
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/jacobian-matrix-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"functions": "x^2*y\nx + z",
"variables": "x, y, z",
"point": "1, 2, 3"
}'替换成您账户中的密钥。工具的字段即为请求体——没有额外包装。
让 AI 代理执行
Use the IOTools `jacobian-matrix-calculator` tool (Jacobian Matrix Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERE将此粘贴给任何已连接 IOTools MCP 服务器的代理,再加上您的输入内容。
嵌入式小组件
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| 每次 API/MCP 调用费用 | 5 积分起 |
|---|---|
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也可通过
使用指南
雅可比矩阵计算器构建 雅可比矩阵 — 针对变量 (x₁, x₂, …) 的向量值函数 F = (f₁, f₂, …) 的完整一阶偏导数矩阵。它显示符号雅可比矩阵、当矩阵为方阵时的符号行列式、可逆性判定、在任意点处的数值计算，以及每个元素的完整逐步推导。
它为多元微积分和线性代数学生验证作业答案而构建，也为任何需要雅可比矩阵而不必手工计算大量偏导数的人而设计。
使用方法
- 输入您的函数 f₁, f₂, … — 每行一个，或用分号分隔 — 使用标准数学记号：
^表示乘方，*表示乘法，加上sqrt()、sin()、cos()、log()和 mathjs 表达式解析器支持的其他函数。最多4个函数。 - 列出要微分的 变量，用逗号分隔，每个单字母 (例如
x, y, z)。最多4个变量。 - 可选地输入一个 点 来数值计算雅可比矩阵 — 每个变量一个值，用逗号分隔。留空则仅查看符号雅可比矩阵。
- 阅读 雅可比矩阵 J 获得偏导数矩阵 (第 i 行，第 j 列为 ∂fᵢ/∂xⱼ)，形状 获得其维度，行列式 |J| 获得当矩阵为方阵时的符号行列式。
- 在点处的计算值 显示数值雅可比矩阵、行列式的值以及矩阵在该点是否可逆。逐步推导 显示计算过程中的每个偏导数。
结果会随着您的输入自动更新。例如，F = (x^2*y, x + z) 与变量 x, y, z 给出 2×3 雅可比矩阵 [[2xy, x², 0], [1, 0, 1]] — 非方阵，因此无行列式 — 而 F = (xy, x + y) 与变量 x, y 给出方阵 [[y, x], [1, 1]]，行列式 y − x，在除了直线 y = x 之外的所有地方都可逆。
什么是雅可比矩阵？
对于向量值函数 F(x₁, …, xₙ) = (f₁, …, fₘ)，雅可比矩阵是 m×n 矩阵：
J[i][j] = ∂fᵢ/∂xⱼ每一行是一个函数的梯度；每一列是每个函数对一个变量的响应。这是单个导数的多元推广，它描述了 F 在一点附近的一阶（线性）近似。
为什么可逆性很重要？
当雅可比矩阵为方阵（函数数量等于变量数量）且其在某点的行列式非零时，反函数定理保证 F 在该点局部可逆 — 输出的微小变化可以追溯到输入的唯一微小变化。本计算器自动检查这个条件：如果行列式处处恒为零，矩阵在任何地方都是奇异的（F 从不局部可逆）；否则在行列式不为零的任何点都是可逆的。
我能输入什么函数？
任何 mathjs 表达式计算器理解的内容：多项式 (x^2*y - 2*z)、三角函数 (sin(x*z)、cos(y))、根和对数 (sqrt(x)、log(y)) 及其组合。三角函数中的角度默认为弧度 — 写 pi 表示 π。您列为函数但不列为变量的符号（或反之）在微分时被视为常数。
要对一个变量微分一个函数，请参阅 偏导数计算器；对于 2×2/3×3 数值矩阵运算 (行列式、逆矩阵、乘法)，请参阅 矩阵计算器。
隐私
此计算器完全在您的浏览器中运行。您的函数、变量和点永远不会被上传、记录或存储 — 计算在您的设备上本地进行。