线积分计算器
沿参数曲线数值计算标量场或矢量场的线积分，提供曲线弧长和矢量场的保守场（旋度）检验。
输入
曲线 C，参数化为 t — mathjs 语法：^ 表示乘方，sqrt()、sin()、cos() 等。
数字或常数表达式，例如: 2*pi。
关于弧长积分的标量场。
输出
使用此工具的更多方式
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/line-integral-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"mode": "scalar",
"dimension": "2d",
"xt": "cos(t)",
"yt": "sin(t)",
"zt": "0",
"t0": "0",
"t1": "2*pi",
"f": "x^2 + y^2",
"p": "-y",
"q": "x",
"r": "0"
}'替换成您账户中的密钥。工具的字段即为请求体——没有额外包装。
让 AI 代理执行
Use the IOTools `line-integral-calculator` tool (Line Integral Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERE将此粘贴给任何已连接 IOTools MCP 服务器的代理,再加上您的输入内容。
嵌入式小组件
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/line-integral-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="线积分计算器 — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>把它放到您自己的页面上——免费,无需密钥,只需保留一个反向链接。
| 每次 API/MCP 调用费用 | 5 积分起 |
|---|---|
| 需要更多积分? | 查看定价 |
也可通过
使用指南
线积分计算器沿参数曲线 C: r(t) = (x(t), y(t)[, z(t)]) 数值计算 线积分，t ∈ [t0, t1]—— 无论是 标量场 积分 ∫_C f ds（关于弧长）还是 矢量场 积分 ∫_C F · dr（关于沿曲线的位移）。除了数值结果外，它还报告曲线在同一区间上的 弧长 以及对于矢量场的 基于旋度的保守场检验。
专为向量微积分学生检查家庭作业答案而设计，也为需要快速数值线积分而无需手工准备代换的任何人设计。
使用方法
- 选择 积分类型：标量场（∫ f ds）或矢量场（∫ F · dr）。
- 选择 曲线维数：2D 或 3D。
- 输入曲线的参数化：x(t)、y(t) 以及（在 3D 中）z(t) —— 标准数学符号可用：
^表示乘方，*表示乘法，加上sqrt()、sin()、cos()、log()和 mathjs 表达式解析器支持的其他函数。 - 输入 t 下界 (t0) 和 t 上界 (t1) —— 这些也接受常数表达式，如
2*pi，而不仅仅是普通数字。 - 对于标量场，输入 f(x, y[, z])。对于矢量场，输入其分量 P(x, y[, z])、Q(x, y[, z]) 和（在 3D 中）R(x, y, z)。
- 读取积分结果（∫_C f ds 或 ∫_C F · dr）、弧长 以及 —— 对于矢量场 —— 保守场？。逐步细节 显示 dx/dt、dy/dt（在 3D 中还有 dz/dt）、积分设置和旋度计算。
输入时结果会自动更新。例如，矢量场 F = (-y, x) 围绕单位圆 (cos(t), sin(t))，t ∈ [0, 2π]，返回线积分 6.28319 并标记为 非 保守场。
如何计算积分？
dx/dt、dy/dt 和 dz/dt 通过对 x(t)、y(t) 和 z(t) 符号微分 求得。曲线、其导数和场在 [t0, t1] 上 1001 个均匀分布的点处求值，并与 复合辛普森法则 结合 —— 对于标量场，积分 f(r(t)) · |r′(t)| dt；对于矢量场，积分 [P dx/dt + Q dy/dt (+ R dz/dt)] dt。相同的网格和法则计算弧长，∫ |r′(t)| dt。
什么是保守场检验？
对于矢量场 F = (P, Q[, R])，计算器 符号计算 F 的旋度（2D 中为 ∂Q/∂x − ∂P/∂y；3D 中为完整的旋度向量）并检查其是否恒等简化为零。如果是，F 表现为保守场 —— 两点之间的线积分不依赖于它们之间的路径，只依赖于端点。这个偏导数测试是一个 必要条件但不充分 的条件，在有孔或奇点的区域上（例如平面中移除的原点），因此请将"保守场"的判定视为强有力的证据，而非绝对保证。
我可以输入什么函数？
mathjs 表达式计算器理解的任何内容：多项式、三角函数（sin、cos、tan）、根和对数（sqrt()、log()）以及这些的组合。使用 t 作为曲线的参数，使用 x、y、z 作为场的变量。角度默认为弧度 —— 用 pi 表示 π。
要直接在单个点查找 3D 矢量场的旋度，请参阅 旋度计算器；对于沿矩形区域而非曲线的二重积分，请参阅 二重积分计算器。
隐私
此计算器完全在您的浏览器中运行。您的曲线、场和边界永远不会上传、记录或存储 —— 计算在您的设备本地进行。