偏导数计算器
求多元函数 f(x, y, z, t) 对某一变量的偏导数 — 一阶、二阶或三阶 — 支持可选的数值点计算和完整的分步推导过程。
输入
使用您需要的 x、y、z、t 变量 — 其余的可以省略。
可选 — 仅在导数依赖于 x 时使用。
可选。
可选。
可选。
输出
使用此工具的更多方式
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/partial-derivative-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"f": "x^2*y + sin(x*y)",
"variable": "x",
"order": "1"
}'替换成您账户中的密钥。工具的字段即为请求体——没有额外包装。
让 AI 代理执行
Use the IOTools `partial-derivative-calculator` tool (Partial Derivative Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERE将此粘贴给任何已连接 IOTools MCP 服务器的代理,再加上您的输入内容。
嵌入式小组件
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<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>把它放到您自己的页面上——免费,无需密钥,只需保留一个反向链接。
| 每次 API/MCP 调用费用 | 5 积分起 |
|---|---|
| 需要更多积分? | 查看定价 |
也可通过
使用指南
偏导数计算器可求多元函数 f(x, y, z, t) 对您选择的某一变量的偏导数，其中所有其他变量被视为常数。它支持对同一变量求一阶、二阶和三阶导数，可选择在某一数值点处计算结果，并显示完整的分步推导过程。
此工具专为学习多元微积分的学生检验作业答案而设计，也适用于需要求偏导数但不想手工计算并跟踪哪些变量保持不变的任何人。
使用方法
- 输入您的函数 f(x, y, z, t) — 支持标准数学记号：
^表示幂，*表示乘法，以及sqrt()、sin()、cos()、log()和 mathjs 表达式解析器支持的其他函数。从 x、y、z、t 中使用您需要的变量 — 其余的可以省略。 - 选择您要对哪个变量求导，以及阶数（对同一变量的一阶、二阶或三阶导数）。
- 可选地输入一个数值点 — 仅使用所得导数实际依赖的坐标，因此您可以将其余坐标留空。
- 查看偏导数获得符号结果，在点处的取值获得您指定的点处的数值（如果您提供了）、分步推导过程获得完整的计算过程。
结果随着您的输入自动更新。例如，f = x^2*y + sin(x*y) 对 x 求导得到 y * (2 * x + cos(x * y))，在 x = 1, y = 2 处的取值为 3.16771。
什么是偏导数？
对于多变量函数，某一变量的偏导数测量的是当仅该变量变化时 f 的变化速率，而所有其他变量保持不变：
∂f/∂x = lim(h→0) [f(x+h, y, z, t) − f(x, y, z, t)] / h在机制上，这意味着求导时所有其他变量被视为常数 — 因此 ∂/∂x (x²y) = 2xy，这与仅对 x² 求导并将常数 y 保持不变相同。二阶偏导数（∂²f/∂x²）只是对同一变量重复此过程。
我可以输入哪些函数？
mathjs 表达式求值器支持的任何函数：多项式（x^2*y - 2*z）、三角函数（sin(x*z)、cos(y)）、根式和对数（sqrt(x)、log(y)）以及这些函数的组合，使用 x、y、z 和 t 作为四个变量。三角函数中的角度默认以弧度表示 — 用 pi 表示 π。
需要沿任意方向而非单一轴的变化率？请查看方向导数计算器，它将所有偏导数组合为梯度。要直接计算任意数学表达式，请查看数学计算器。
隐私
此计算器完全在您的浏览器中运行。您的函数、变量选择和点信息永远不会被上传、记录或存储 — 计算完全在您的设备本地进行。