部分分式分解计算器
将有理式 P(x)/Q(x) 分解为简单部分分式的和 — 真分式或假分式，包含重复一次因式和不可约二次因式 — 使用精确有理数运算和完整的逐步推导过程。
输入
x 的多项式，例：3x + 5 或 x^2 - 4。可以等于或高于分母的次数（假分式）— 我们会先进行除法。
Q(x) 作为一次和/或二次因式的乘积，每个因式用括号括起来，可选择带有 ^power — 例：(x - 1)(x + 2)^2 或 (x - 1)(x^2 + 1)。我们不会自动分解任意多项式（这在一般情况下无法精确求解）— 输入因式分解形式，所有步骤都会精确计算。
输出
| 分母因式 | 分子 | 项 |
|---|---|---|
| No data yet | ||
使用此工具的更多方式
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/partial-fraction-decomposition-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"numerator": "3x + 5",
"denominator": "(x - 1)(x + 2)"
}'替换成您账户中的密钥。工具的字段即为请求体——没有额外包装。
让 AI 代理执行
Use the IOTools `partial-fraction-decomposition-calculator` tool (Partial Fraction Decomposition Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERE将此粘贴给任何已连接 IOTools MCP 服务器的代理,再加上您的输入内容。
嵌入式小组件
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/partial-fraction-decomposition-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="部分分式分解计算器 — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>把它放到您自己的页面上——免费,无需密钥,只需保留一个反向链接。
| 每次 API/MCP 调用费用 | 5 积分起 |
|---|
也可通过
使用指南
部分分式分解将有理式 P(x)/Q(x) 分解为能够相加而得到该式的多个简单分式 — 这是用公分母相加分数的逆过程。这是积分有理函数前的标准第一步，而当分母包含重复因式或二次因式时，计算会变得繁琐。本计算器完整且精确地执行整个方法 — 每个系数都是精确分数，永远不会是舍入十进制数 — 并显示为得到结果所求解的线性方程组。
使用方法
- 将分子 P(x) 作为 x 的多项式输入，例如
3x + 5或x^2 - 4。 - 将分母 Q(x) 输入为因式分解形式 — 一次和/或二次因式的乘积，每个因式用括号括起来，可选择带有
^power，例如(x - 1)(x + 2)^2或(x - 1)(x^2 + 1)。 - 读取分解结果、多项式部分（如果是假分式）、逐项表格和完整推导过程。
为什么分母必须已经因式分解
对任意多项式进行精确因式分解在四次以上没有通用闭式解，即使判断是否一个因式能在有理数范围内分解也是一个困难的问题 — 一个默默猜测"足够接近"的因式分解的计算器会非常自信地返回错误答案，这比提一个额外问题更糟 — 提供已经因式分解的 Q(x) 保证了每一步都是精确的：没有求根，永远没有浮点数。如果你输入的二次因式实际上在有理数范围内是可约的（其判别式是完全平方数），计算器会在分解前自动将其改写为两个一次因式。
方法
- 假分式？ 如果 deg(P) ≥ deg(Q)，先进行除法（普通多项式长除法）得到多项式部分加上真余式，然后分解余式。
- 构建假设形式。 每个一次因式
(x − r)的n次幂贡献A₁/(x−r) + A₂/(x−r)² + … + Aₙ/(x−r)ⁿ；每个不可约二次因式的n次幂贡献(B₁x + C₁)/(quad) + … + (Bₙx + Cₙ)/(quad)ⁿ。 - 等置系数。 将两边同乘以 Q(x)，比较 x 的每个幂次的系数 — 这产生了一个关于未知分子的平方线性方程组，通过有理数分数（BigInt）的精确高斯-若尔当消元法求解。
- 对于最简单的情况 — 所有分母因式都是一次且互不相同，无重复 — 推导也显示了 cover-up（黑维赛德）捷径作为独立的交叉检验：将每个
(x − r)遮住，在x = r处计算其他所有项。
FAQ
为什么二次因式需要 (Ax + B) 而不是仅仅 A？
不可约二次式上的单个常数无法再现该次数所有可能的分子 — 分子必须允许有自己的 x 项，否则对于一般的 P(x) 方程组无解。
如果我的分母因式不是 1 次或 2 次怎么办？
继续分解。每个实多项式都分解为一次和不可约二次部分，所以你所拥有的三次或更高次因式还没有完全分解 — 在这里输入前，继续分解剩余部分（手动或使用立方方程求解器）。
我的因式不是首一的（例如 (2x - 4)） — 这重要吗？
不重要 — 按你拥有的形式精确输入。计算器会在内部提出首项系数并将其并入分子，所以 (2x - 4) 和 (x - 2) 分解为相同的基础分式项。
相关工具
要将因式分解的多项式展开回标准形式 — 这是本工具第二步的逆过程 — 请参阅多项式展开计算器。要手动而不是自动地用分母除不真分子，请参阅多项式长除法计算器。
隐私
所有计算完全在你的浏览器中运行 — 你输入的分子和分母永远不会被发送到服务器。