多项式因式分解计算器
在有理数上分解整数系数多项式：内容（最大公约数）、每个有理根及其重数、生成的一次因子，以及没有有理根的余项。
输入
用逗号或空格分隔的整数系数，从最高次项到常数项（最多10次）。不支持小数和分数 — 仅支持整数系数。
输出
| 根 | 重数 | 一次因子 |
|---|---|---|
| No data yet | ||
使用此工具的更多方式
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/polynomial-factoring-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"coefficients": "1, 0, -3, 2"
}'替换成您账户中的密钥。工具的字段即为请求体——没有额外包装。
让 AI 代理执行
Use the IOTools `polynomial-factoring-calculator` tool (Polynomial Factoring Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERE将此粘贴给任何已连接 IOTools MCP 服务器的代理,再加上您的输入内容。
嵌入式小组件
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<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>把它放到您自己的页面上——免费,无需密钥,只需保留一个反向链接。
| 每次 API/MCP 调用费用 | 5 积分起 |
|---|
也可通过
使用指南
手工因式分解多项式意味着猜测候选根、用综合除法检查每一个、然后对剩余部分重复 — 一旦根重复或常数项有十几个除数，就容易失控。此计算器为您完成整个搜索：提取内容、找到每个有理根及其重数，并明确告诉您是否有无法在有理数上分解的剩余项。
如何使用
- 输入多项式的系数，从最高次数开始 — 对于 x³ − 3x + 2，输入
1, 0, -3, 2（缺失的 x² 项是零，很重要：不要跳过）。 - 读取内容、因式分解形式、根/重数表，以及多项式是否完全因式分解。
仅支持整数系数 — 不支持小数和分数，因为该方法（有理根定理）是在整数系数上定义的。
方法
- 内容：提取所有系数的最大公约数，留下原始多项式（内容为 1）。
- 有理根定理：对于常数项为 a₀ 且首项系数为 aₙ 的原始多项式，每个有理根是最简形式的 p⁄q，其中 p 整除 a₀，q 整除 aₙ。每个候选都用 (qx − p) 的精确整数综合除法进行测试。
- 每当确认一个根时，将其重复除（以捕捉重数），并从剩余的较小多项式重新开始搜索 — 包括新的候选，因为降次可能会暴露原始系数的约数中看不到的根。
- 一旦没有候选根能均匀整除，剩余项将按原样报告：±1（多项式完全因式分解）或无有理根的高次部分。
常见问题
剩余部分的"无有理根"是什么意思?
这意味着搜索找不到更多能均匀整除多项式的 p⁄q 候选 — 不是部分不能因式分解的形式证明。像 x² + 1 这样的二次式没有实根，而像 x² − 2 这样的有无理实根（±√2）；两者在这里都作为未因式分解的余项返回，因为都没有有理根。
为什么因式分解形式有时以普通数字开头?
那是内容 — 搜索根之前从每个系数中提取的最大公约数。2x³ − 4x² − 2x + 4 因式分解为 2(x - 1)(x - 2)(x + 1)，而非 (2x - 2)(x - 2)(x + 1)，因为 2 整除最前面的每一项。
重数是如何显示的?
每个不同的有理根在表中获得一行及其重数 — 二重根显示重数 2，其在因式分解形式中的因子带有匹配的 ^2。
相关工具
要将多项式除以特定的 x − a 并直接检查余数，请参见综合除法计算器。要将因子相乘回到标准形式，请参见多项式展开计算器。对于特定的二次方程，二次方程求解器也处理无理根和复数根，而此工具的纯有理搜索找不到这些。
隐私
所有计算完全在您的浏览器中进行 — 您输入的系数永远不会发送到服务器。