多项式根计算器

手工求多项式的所有根只在次数≤2时行得通——更高次数时不存在通用的代数公式，且通过试值法寻找实根或复根会迅速变得不可靠。本计算器可以一次性求解所有情况：实根、无理根和复根，适用于1至12次的任意多项式。

使用方法

1. 从最高次项开始输入多项式的系数——对于 x³ − 6x² + 11x − 6，输入 1, -6, 11, -6（缺失的项为0，这很重要：不要跳过）。
2. 查看解析的方程（确认与你的输入一致）、完整的根表和所用的求解方法。

支持小数——系数不必是整数。

求解方法

• 1次：直接求解，x = −b⁄a。
• 2次：二次公式，x = (−b ± √(b² − 4ac)) ⁄ 2a——判别式为正时得两个实根，为零时得一个二重实根，为负时得一对复共轭根。
• 3至12次：Durand–Kerner迭代，一种数值方法，每次迭代同时改进所有n个根——r ← r − f(r) ⁄ Π(r − rⱼ)，对每一个其他的当前根估计值进行操作——从围绕原点、按Cauchy界限缩放的圆周上的点开始。它同时收敛到所有实根和复根的完整集合，这就是当不存在闭形式公式时采用这种标准方法的原因。

微小的浮点残差（远小于任何显示的数字）会被截至正好为0，所以实际上是实根的根不会显示像 1e-14i 这样多余的虚部。

常见问题

为什么三次多项式有时显示一个实根和一对复根，有时显示三个实根？

这由多项式本身决定，而不是由方法决定——实系数的三次多项式总是至少有一个实根，要么再有两个实根，要么有一对复共轭根。计算器找到的是系数实际产生的根。

根的精度如何？

Durand–Kerner迭代直到根不再移动超过1e-13，然后结果显示为6位有效数字——对任何实际应用都足够精确，但对于3次及更高次数，这是数值近似而非精确的闭形式解。

这个工具能处理的最高次数是多少？

12次（13个系数）。更高次数时，根的求解对通用计算器来说在数值上变得不稳定——高次多项式的系数对其根的精确位置可能极其敏感。

相关工具

对于整数系数多项式的仅有理根搜索——带精确分数和展开的因式分解形式——请参阅多项式因式分解计算器。对于特别的二次方程，包含完整的逐步推导，请参阅二次公式计算器。要用已知根除以多项式并检查余数，请参阅综合除法计算器。

隐私

所有计算完全在你的浏览器中进行——你输入的系数永远不会被发送到服务器。