级数收敛判定计算器

级数收敛判定计算器告诉您无穷级数是否绝对收敛、条件收敛或发散 — 针对p级数、几何级数、交错级数和其他三个标准级数族。显示比值判定法和根式判定法的精确极限、发散判定法（第n项判定法）、哪个规则实际上决定了结论，以及运行中的部分和。

使用方法

1. 选择一个级数族 — p级数、几何级数、交错p级数、多项式×几何、指数/阶乘或交错有理式。
2. 填入该族的参数 — 指数、比或底数 — 以及起始指标 n₀。
3. 选择要显示多少部分和。
4. 阅读判定结果和决定性规则以获得答案和背后的精确定理，或者查看分步推导以获得完整的图景。

为什么不直接在大n处对比值判定法进行抽样？

大多数收敛计算器通过在一个大n处评估级数并希望趋势已经稳定来近似比值和根式判定法。这在最常见的收敛问题上失败了：对于p级数 (Σ 1/nᵖ)，比值判定法的极限和根式判定法的极限对于p的每个值都恰好等于1 — 因此任何数量的数值抽样都无法区分收敛的p = 2级数和发散的p = 1（调和）级数。本计算器改为使用精确的闭形式解析准则 — p级数判定法、几何级数判定法、交错级数判定法或极限比较 — 对每个族进行分类，并报告精确的比值/根式判定法极限（0、|r|或1），而不是浮点近似值。

六个级数族

• p级数 — Σ 1/nᵖ。当且仅当p > 1时收敛（绝对）；否则发散。这是p = 1时的调和级数。
• 几何级数 — Σ rⁿ。当且仅当|r| < 1时收敛（绝对）。
• 交错p级数 — Σ (-1)ⁿ/nᵖ。当p > 1时绝对收敛，当0 < p ≤ 1时条件收敛（根据交错级数判定法，尽管p级数判定法说Σ 1/nᵖ本身在那里发散），当p ≤ 0时发散。
• 多项式×几何 — Σ nᵃ·rⁿ。当|r| ≠ 1时比值判定法单独决定（几何因子总是战胜多项式因子）；当|r| = 1时归结为nᵃ中的普通或交错p级数。
• 指数/阶乘 — Σ bⁿ/n!。对于每个实数b都绝对收敛，因为n!最终增长快于任何固定的指数bⁿ — 比值判定法的极限总是0。（这个级数之和为eᵇ。）
• 交错有理式 — Σ (-1)ⁿ·n/(n²+a)。对于每个a ≥ 0都条件收敛：项缩小到0，但无符号级数根据极限比较像调和级数一样发散。

"绝对"、"条件"和"发散"的含义

• 绝对收敛 — Σ |aₙ| 也收敛。级数收敛与其项相加的顺序无关。
• 条件收敛 — Σ aₙ 收敛，但Σ |aₙ| 不收敛。重新排列条件收敛级数的项可能会改变其和（或使其发散） — 黎曼级数定理。
• 发散 — 部分和不收敛到有限值。

隐私

本计算器完全在您的浏览器中运行。您选择的级数族、参数和起始指标永远不会被上传、记录或存储。