オイラー特性計算機
多面体またはメッシュの頂点、辺、面の数からオイラー特性 χ = V − E + F を計算し、その後、同じ特性を持つ名前付きの曲面（球、トーラス、クラインボトル、射影平面、メビウスの帯など）と照合して、向きづけ可能な種数または向きづけ不可能なクロスキャップ数を求めます。
入力
出力
| 指標 | 値 |
|---|---|
| No data yet | |
| 性質 | 値 |
|---|---|
| No data yet | |
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REST API
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-H "Content-Type: application/json" \
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"vertices": "8",
"edges": "12",
"faces": "6"
}'ご自身のアカウントのキーに差し替えてください。ツールのフィールドがそのままリクエストボディになります——ラッパーはありません。
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Use the IOTools `euler-characteristic-calculator` tool (Euler Characteristic Calculator) on this input:
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ガイド
オイラー特性計算機は、多面体またはメッシュの頂点、辺、面の数から χ = V − E + F を計算し、さらに一歩進んで、その数値を名前付き曲面（球、トーラス、クラインボトル、実射影平面、メビウスの帯、...）の参照テーブルと照合し、結果から暗示される 向きづけ可能な種数 または 向きづけ不可能なクロスキャップ数 を導き出します。
使い方
- 多面体またはメッシュの頂点数（V）、辺数（E）、面数（F）を入力します。
- オイラー特性 χ = V − E + F を読みます。
- 分類テーブルを確認します：向きづけ可能な種数（χが閉じた向きづけ可能な曲面に適合する場合）、向きづけ不可能なクロスキャップ数（χが閉じた向きづけ不可能な曲面に適合する場合）、および同じχを共有する名前付き曲面。
公式
頂点、辺、面から構成された任意の多面体（またはより一般的には任意のCW複体）について：
χ = V − E + F
- χ = 2 — 位相的には球（立方体、正四面体、または任意の凸多面体）。
- χ = 0 — 位相的にはトーラス（またはクラインボトル、メビウスの帯、または円環 — χだけではさらなる情報なしに向きづけ可能性を区別できません）。
- χ = 2 − 2g — 種数gの閉じた向きづけ可能な曲面（「g-穴のあいたトーラス」）。gを解くと g = (2 − χ) / 2 が得られます。
- χ = 2 − k — k個のクロスキャップを持つ閉じた向きづけ不可能な曲面（k = 1は実射影平面、k = 2はクラインボトル）。kを解くと k = 2 − χ が得られます。
与えられたχは複数の曲面に対応する可能性があるため（トーラスとクラインボトルの両方がχ = 0を持つ）、計算機は向きづけ可能性を仮定するのではなく、一致するすべての一般的な名前付き曲面をリストします。
計算例
立方体は8個の頂点、12本の辺、6個の面を持ちます：χ = 8 − 12 + 6 = 2、種数 g = (2 − 2) / 2 = 0 に対応 — 任意の凸多面体に期待される球。
16個の頂点、32本の辺、16個の面を持つトーラス形のメッシュは χ = 16 − 32 + 16 = 0 を得、種数 g = 1（トーラス）に対応 — 同じχはクラインボトル（クロスキャップ数2）、メビウスの帯、および円環にも対応します。これはχだけが向きづけ可能性や境界を記録していないためです。
よくある質問
これはプラトン立体だけでなく、任意の多面体に対して機能しますか？
はい — 公式 χ = V − E + F は種数が0の単純な（自己交差しない）多面体に対して成立し、さらに一般的には、それが閉じており向きづけ可能であることを知っている任意のメッシュに対して成立します。
χ = 0が4つの異なる曲面に対応するのはなぜですか？
オイラー特性だけでは向きづけ可能性や曲面が境界を持つかどうかを記録しません — トーラス（閉じた、向きづけ可能）、クラインボトル（閉じた、向きづけ不可能）、メビウスの帯（境界、向きづけ不可能）、および円環（境界、向きづけ可能）はすべてχ = 0を共有しています。それらの中から選択するには追加情報が必要です。
もしχが種数またはクロスキャップ数に対応しない場合はどうなりますか？
種数は 2 − χ が偶数で非負の場合にのみ適用されます（閉じた向きづけ可能な曲面）；クロスキャップ数は 2 − χ が少なくとも1の場合にのみ適用されます（閉じた向きづけ不可能な曲面）。1のような奇数の正のχは1のクロスキャップ数（実射影平面）に対応しますが、整数種数には対応しません — 計算機は該当しないものに対して「N/A」を表示します。
データはどこかに送信されますか？
いいえ。すべての計算はブラウザで局所的に実行されます。入力は決してデバイスから出ません。