Решатель неравенств с абсолютной величиной

Решатель неравенств с абсолютной величиной находит каждый x, который удовлетворяет неравенству вида |ax + b| <, ≤, >, или ≥ c. Введите коэффициенты и выберите сравнение, и программа вернет решение в нотации интервалов, флаг статуса и пошаговый вывод, показывающий, как были найдены границы.

Создано для студентов алгебры, проверяющих домашнее задание, учителей, готовящих решённые примеры, и всех, кому нужен точный интервал без необходимости вручную разбивать неравенство на случаи.

Как использовать

1. Введите a — коэффициент x внутри знаков абсолютной величины.
2. Введите b — константу, добавляемую к ax, также внутри знаков.
3. Выберите сравнение — <, ≤, >, или ≥.
4. Введите c — значение, с которым сравнивается абсолютная величина.
5. Прочитайте Решение в нотации интервалов или Пошаговый вывод для полного решения.

Результаты обновляются автоматически по мере ввода. Например, введение a = 2, b = -3, ≤, c = 5 возвращает [-1, 4] — решено из |2x - 3| ≤ 5.

Как решается неравенство с абсолютной величиной?

Неравенство с абсолютной величиной разбивается на два граничных уравнения, ax + b = c и ax + b = -c, чьи корни отмечают границы решения:

• Корень 1: ax + b = c → x = (c − b) / a
• Корень 2: ax + b = −c → x = (−c − b) / a

После того как два корня упорядочены по нижней и верхней границе, форма ответа следует простому правилу, независимо от того, положительное или отрицательное значение a:

• < или ≤ ("меньше"): решение — это интервал между границами — например [-1, 4].
• > или ≥ ("больше"): решение — это всё вне границ — два луча, например (-∞, -4) ∪ (2, ∞).

Строгие сравнения (<, >) используют открытые скобки/круглые скобки; нестрогие сравнения (≤, ≥) используют закрытые скобки.

Почему иногда говорится "нет решения" или "все вещественные числа"?

Абсолютная величина никогда не бывает отрицательной, поэтому когда c отрицательно, сравнение его с отрицательным числом невозможно для каждого x (|x| < -1 не имеет решения) или верно для каждого x (|x| > -1 всегда верно) — никаких границ решать не нужно.

Что если a равно 0?

Когда a = 0, член x исчезает и выражение становится константой, |b|. Калькулятор просто проверяет, удовлетворяет ли эта константа сравнению — ответ — это все вещественные числа (если да) или нет решения (если нет), так как x не появляется в результате в любом случае.

Что если c равно 0?

Когда c = 0, оба граничных уравнения схлопываются в одно корень, x = -b/a. Это превращает обычный интервал в единственную точку или её дополнение:

• ≤ схлопывается к единственной точке {-b/a} (только этот x делает выражение ровно 0).
• < не имеет решения (ничто не является строго меньше 0, когда интервал сократился до точки).
• ≥ охватывает все вещественные числа (два закрытых луча встречаются и охватывают всю линию).
• > охватывает каждое вещественное число, кроме -b/a} (выражение должно быть просто ненулевым).

Для версии уравнения этой задачи см. Решатель уравнений с абсолютной величиной. Для простого линейного неравенства без знаков абсолютной величины см. Решатель линейных уравнений.

Приватность

Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваши коэффициенты никогда не загружаются, не регистрируются и не сохраняются — вычисления выполняются локально на вашем устройстве.