Калькулятор комплексных чисел
Складывайте, вычитайте, умножайте или делите два комплексных числа (a + bi). Возвращает результат вместе с его модулем, сопряженным числом и полярной формой с пошаговым выводом.
Ввод
Вывод
Другие способы использовать этот инструмент
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/complex-numbers-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"operation": "add",
"real1": "3",
"imag1": "4",
"real2": "1",
"imag2": "2"
}'Подставьте свой собственный ключ из аккаунта. Поля инструмента — это тело запроса, без обёртки.
Спросите у ИИ-агента
Use the IOTools `complex-numbers-calculator` tool (Complex Numbers Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREВставьте это любому агенту, подключённому к MCP-серверу IOTools, и добавьте свой ввод.
Виджет для встраивания
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/complex-numbers-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="Калькулятор комплексных чисел — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>Вставьте это на свою страницу — бесплатно, без ключа, нужна лишь обратная ссылка.
| Стоимость вызова API/MCP | От 5 кредитов |
|---|---|
| Нужно больше кредитов? | Посмотреть тарифы |
Также доступно через
Руководства
Калькулятор комплексных чисел складывает, вычитает, умножает или делит два комплексных числа в виде a + bi. Введите действительную и мнимую части z₁ и z₂, выберите операцию и сразу же получите результат вместе с его модулем, сопряженным числом и полярной формой — плюс пошаговый вывод, показывающий точно, как был получен ответ.
Разработано для студентов алгебры и инженерного дела, проверяющих домашние задания, преподавателей, подготавливающих решенные примеры, и всех, кто работает с электрическими цепями, обработкой сигналов или комплексным анализом и нуждается в быстром и надежном вычислении.
Как его использовать
- Выберите операцию: сложение, вычитание, умножение или деление.
- Введите действительную часть a и мнимую часть b числа z₁.
- Введите действительную часть c и мнимую часть d числа z₂.
- Прочитайте поля Результат, Модуль, Сопряженное число и Полярная форма, а также Пошаговое решение для полного вывода.
Результаты обновляются автоматически при вводе. Например, сложение z₁ = 3 + 4i и z₂ = 1 + 2i возвращает 4 + 6i.
Четыре операции
Сложение: (a + c) + (b + d)i
Вычитание: (a − c) + (b − d)i
Умножение: (ac − bd) + (ad + bc)i
Деление: ((ac + bd) / (c² + d²)) + ((bc − ad) / (c² + d²))iУмножение и деление обе полагаются на i² = −1: умножение (a + bi)(c + di) расширяется до ac + adi + bci + bdi², а член bdi² переходит в −bd после замены i² на −1. Деление умножает обе стороны на сопряженное число z₂ (c − di) для устранения мнимой части из знаменателя, оставляя c² + d² — квадрат модуля z₂.
Что такое модуль, сопряженное число и полярная форма?
- Модуль — расстояние от начала координат до точки (действительное, мнимое) на комплексной плоскости: |z| = √(действительное² + мнимое²).
- Сопряженное число — та же действительная часть со знаком мнимой части перевернутым: действительное − мнимое·i. Сопряженные числа — это то, что использует деление для устранения знаменателя.
- Полярная форма — то же число, выраженное как величина и угол вместо действительной/мнимой частей: r(cos θ + i sin θ), где r — модуль и θ (в градусах, от −180° до 180°) — угол от положительной действительной оси.
Почему деление отвергает z₂ = 0 + 0i?
Деление на ноль не определено для комплексных чисел так же, как и для действительных чисел — знаменатель c² + d² будет равен нулю, что делает результат бесконечным/неопределенным. Калькулятор отмечает это вместо молчаливого возврата Infinity или NaN.
Комплексные числа также появляются при решении уравнений, которые не имеют действительных решений — см. Решатель квадратной формулы, чья ветвь комплексных сопряженных корней использует те же обозначения a + bi.
Конфиденциальность
Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваши числа никогда не загружаются, не регистрируются и не сохраняются — вычисления происходят локально на вашем устройстве.