Калькулятор функции ошибок

Что делает этот калькулятор?

Введите значение y и выберите функцию, и этот инструмент решает для x в любом из erf(x) = y (обратная функция ошибок, erf⁻¹) или erfc(x) = y (обратная дополнительная функция ошибок, erfc⁻¹). Это обратное направление более знакомой функции ошибок: вместо подстановки x для получения erf(x)/erfc(x) вы предоставляете выход и решаете для входа.

Как использовать

1. Выберите, решаете ли вы erf(x) = y или erfc(x) = y.
2. Введите y — строго между -1 и 1 для erf⁻¹ или строго между 0 и 2 для erfc⁻¹ (это единственные значения, которые erf/erfc когда-либо действительно производят).
3. Прочитайте x из таблицы результатов вместе со строкой проверки туда-обратно, которая подставляет x обратно в прямую функцию, чтобы вы могли подтвердить, что он вернулся к y.

Математика

erf(x) и erfc(x) не имеют обратной функции в замкнутой форме, поэтому обе вычисляются через точную связь между функцией ошибок и функцией квантиля стандартного нормального распределения Φ⁻¹ (функция "пробит"):

Φ(z) = ½ · (1 + erf(z / √2))

Решение для x при erf(x) = y дает:

erf⁻¹(y) = Φ⁻¹((y + 1) / 2) / √2

и так как erfc(x) = 1 − erf(x):

erfc⁻¹(y) = erf⁻¹(1 − y)

Φ⁻¹ вычисляется с использованием рациональной аппроксимации Питера Акклама, точной с относительной ошибкой менее 1.15×10⁻⁹ во всей области (0, 1) — включая крайние хвосты, где менее точный подход потеряет цифры.

Связь с прямыми функциями

Если вам нужны erf(x)/erfc(x) напрямую — подстановка x для получения значения функции, а не решение для x — см. Калькулятор дополнительной функции ошибок, который охватывает это прямое направление.

Примеры использования

• Вероятность и статистика — поиск z-оценки (или эквивалента на основе erf), соответствующей заданной вероятности хвоста, например, работа в обратном направлении от уровня доверия к критическому значению.
• Диффузия и теплопередача — решение для глубины или времени в полубесконечной задаче диффузии/теплопроводности, когда коэффициент концентрации или температуры (выраженный через erfc) уже известен.
• Обработка сигналов — восстановление аргумента функции Q или формулы частоты ошибок в битах, когда сама частота ошибок является известной величиной.

Конфиденциальность

Все вычисления выполняются локально в вашем браузере — ваш ввод никогда не отправляется на сервер.

Связанные инструменты

Для прямого направления — вычисление erf(x) и erfc(x) напрямую из x — см. Калькулятор дополнительной функции ошибок. Для общей описательной статистики см. Калькулятор статистики.