Kalkulator Melengkapi Kuadrat

Kalkulator Melengkapi Kuadrat mengubah persamaan bentuk ax² + bx + c = 0 menjadi bentuk puncak a(x − h)² + k, dan menyelesaikan untuk x dengan melengkapi kuadrat daripada langsung menggunakan rumus kuadrat. Masukkan tiga koefisien — a, b, dan c — dan alat ini mengembalikan bentuk puncak, titik puncak (h, k), akar-akar, dan derivasi lengkap langkah demi langkah yang menunjukkan bagaimana masing-masing diperoleh.

Alat ini dirancang untuk siswa aljabar yang belajar metode melengkapi kuadrat itu sendiri (bukan hanya jawaban), guru yang menyiapkan contoh terselesaikan, dan siapa pun yang membutuhkan bentuk puncak parabola tanpa melakukan aljabar dengan tangan.

Cara menggunakannya

1. Masukkan koefisien a (angka yang mengalikan x²). Tidak boleh nol.
2. Masukkan koefisien b (angka yang mengalikan x).
3. Masukkan koefisien c (suku konstanta).
4. Baca Bentuk Puncak dan Puncak (h, k) untuk persamaan yang dikonversi, Akar-akar untuk solusinya, dan Solusi Langkah demi Langkah untuk derivasi lengkap.

Hasil diperbarui secara otomatis saat Anda mengetik. Misalnya, memasukkan a = 1, b = 6, c = 5 (untuk x² + 6x + 5 = 0) mengembalikan bentuk puncak y = (x + 3)² - 4, puncak (-3, -4), dan akar-akar x₁ = -1, x₂ = -5.

Apa itu melengkapi kuadrat?

Melengkapi kuadrat menulis ulang ax² + bx + c dengan memfaktorkan a dari suku-suku x² dan x, kemudian menambahkan dan mengurangkan kuadrat dari setengah koefisien x sehingga ekspresi di dalam tanda kurung menjadi trinomial kuadrat sempurna:

ax² + bx + c
= a(x² + (b/a)x) + c
= a(x² + (b/a)x + (b/2a)²) − a(b/2a)² + c
= a(x + b/2a)² + (c − b²/4a)
= a(x − h)² + k,   dimana h = −b/(2a),  k = c − b²/(4a)

Baris terakhir adalah bentuk puncak — untuk parabola y = ax² + bx + c, titik (h, k) adalah puncaknya (minimum jika a > 0, maksimum jika a < 0).

Bagaimana cara menyelesaikan untuk x?

Mengatur bentuk puncak ke nol dan mengisolasi suku yang dikuadratkan:

a(x − h)² + k = 0  →  (x − h)² = −k/a

• Jika −k/a > 0, ada dua akar nyata yang berbeda: x = h ± √(−k/a).
• Jika −k/a = 0, ada satu akar nyata berulang: x = h.
• Jika −k/a < 0, ada dua akar konjugat kompleks: x = h ± i√(k/a).

Ini adalah akar-akar yang sama yang dihasilkan rumus kuadrat untuk a, b, c yang sama — melengkapi kuadrat adalah rute berbeda ke jawaban yang sama, dan sebenarnya inilah bagaimana rumus kuadrat itu sendiri diturunkan. Untuk menyelesaikan melalui diskriminan secara langsung, lihat Pemecah Rumus Kuadrat.

Mengapa a tidak boleh nol?

Jika a = 0, suku x² hilang dan persamaan berkurang menjadi bx + c = 0 — persamaan linear tanpa puncak untuk dilengkapi. Kalkulator menandai a = 0 sebagai input yang tidak valid daripada diam-diam beralih ke logika persamaan linear.

Bagaimana akar-akar kompleks diformat?

Akar-akar kompleks ditampilkan dalam notasi standar a + bi, misalnya -0.5 + 0.866025i dan konjugatnya -0.5 - 0.866025i — bagian nyata adalah h dari puncak, dan bagian imajiner berasal dari √(k/a).

Privasi

Kalkulator ini berjalan sepenuhnya di browser Anda. Koefisien Anda tidak pernah diunggah, dicatat, atau disimpan — perhitungan terjadi secara lokal di perangkat Anda.

Alat terkait

Untuk menyelesaikan persamaan yang sama melalui diskriminan sebagai gantinya, lihat Pemecah Rumus Kuadrat.