Pemecah Persamaan Kubik

Apa yang dilakukan kalkulator ini?

Masukkan empat koefisien a, b, c, d dari persamaan kubik ax³ + bx² + cx + d = 0 dan alat ini menyelesaikan ketiga akar dari x — nyata atau kompleks — menggunakan metode Cardano, dengan turunan langkah demi langkah ditampilkan bersama jawaban.

Cara menggunakannya

1. Masukkan a (koefisien dari x³ — tidak boleh nol), b (koefisien dari x²), c (koefisien dari x), dan d (istilah konstan).
2. Baca ketiga akar dari bidang Akar, diskriminan dari Diskriminan (Δ), dan turunan lengkap dari Solusi Langkah demi Langkah.

Matematika

Membagi persamaan dengan a menghasilkan x³ + Bx² + Cx + D = 0. Mensubstitusi x = t − B/3 menghilangkan suku kuadrat, meninggalkan kubik tertekan:

t³ + pt + q = 0
p = C − B²/3
q = 2B³/27 − BC/3 + D

Tanda diskriminan Δ = (q/2)² + (p/3)³ menentukan bentuk akar:

• Δ > 0 — satu akar nyata dan sepasang konjugat kompleks, ditemukan langsung dari rumus radikal Cardano: u = ∛(−q/2 + √Δ), v = ∛(−q/2 − √Δ), dengan akar nyata t = u + v.
• Δ = 0 — ketiga akar semuanya nyata, dengan setidaknya dua sama: akar rangkap tiga di t = 0 ketika p dan q keduanya nol, sebaliknya akar sederhana dan akar rangkap.
• Δ < 0 — tiga akar nyata yang berbeda. Rumus radikal Cardano memerlukan pengambilan akar kubik kompleks dari bilangan nyata di sini (yang dikenal secara historis sebagai "casus irreducibilis"), jadi kalkulator ini menggunakan bentuk trigonometri yang setara, yang tetap sepenuhnya dalam aritmetika nyata.

Terakhir, x = t − B/3 membatalkan substitusi untuk memulihkan akar dari persamaan asli.

Contoh kasus penggunaan

• Pekerjaan rumah dan pekerjaan aljabar — memeriksa faktorisasi kubik atau pekerjaan pencarian akar, termasuk kasus yang tidak menjadi faktor menjadi bilangan bulat yang bagus.
• Teknik dan fisika — persamaan kubik muncul dalam defleksi balok, dinamika fluida (persamaan keadaan van der Waals), dan persamaan karakteristik sistem kontrol.
• Memverifikasi faktorisasi yang diketahui — masukkan koefisien yang diperluas dari kubik yang telah Anda faktorkan dengan tangan dan konfirmasi akar cocok.

Privasi

Semua perhitungan berjalan secara lokal di browser Anda — input Anda tidak pernah dikirim ke server.

Alat terkait

Untuk persamaan kuadrat, lihat Pemecah Rumus Kuadrat. Untuk persamaan linear sederhana, lihat Pemecah Persamaan Linear.