Решатель кубических уравнений

Что делает этот калькулятор?

Введите четыре коэффициента a, b, c, d кубического уравнения ax³ + bx² + cx + d = 0, и этот инструмент решит все три корня x — действительные или комплексные — используя метод Кардано с пошаговым выводом, показанным рядом с ответом.

Как использовать

1. Введите a (коэффициент x³ — не должен быть нулевым), b (коэффициент x²), c (коэффициент x) и d (постоянный член).
2. Прочитайте три корня из поля Корни, дискриминант из Дискриминант (Δ) и полный вывод из Пошаговое решение.

Математика

Деление уравнения на a дает x³ + Bx² + Cx + D = 0. Подстановка x = t − B/3 исключает квадратичный член, оставляя депрессированное кубическое уравнение:

t³ + pt + q = 0
p = C − B²/3
q = 2B³/27 − BC/3 + D

Знак дискриминанта Δ = (q/2)² + (p/3)³ определяет вид корней:

• Δ > 0 — один действительный корень и пара комплексных сопряженных корней, найденные непосредственно из радикальной формулы Кардано: u = ∛(−q/2 + √Δ), v = ∛(−q/2 − √Δ), с действительным корнем t = u + v.
• Δ = 0 — все три корня действительные, с по крайней мере двумя равными: тройной корень в t = 0 когда p и q оба равны нулю, иначе простой корень и двойной корень.
• Δ < 0 — три различных действительных корня. Радикальная формула Кардано потребовала бы извлечения комплексного кубического корня из действительного числа (исторически известно как "casus irreducibilis"), поэтому этот калькулятор использует эквивалентную тригонометрическую форму, которая остается полностью в области действительной арифметики.

Наконец, x = t − B/3 отменяет подстановку, чтобы восстановить корни исходного уравнения.

Примеры использования

• Домашние задания и курсовые работы по алгебре — проверка работы по разложению на множители кубических уравнений или поиску корней, включая случаи, которые не разлагаются на хорошие целые числа.
• Инженерия и физика — кубические уравнения появляются в прогибе балок, динамике жидкостей (уравнение состояния Ван-дер-Ваальса) и характеристических уравнениях систем управления.
• Проверка известной факторизации — введите развернутые коэффициенты кубического уравнения, которое вы разложили вручную, и подтвердите, что корни совпадают.

Приватность

Все вычисления выполняются локально в вашем браузере — ваши данные никогда не отправляются на сервер.

Связанные инструменты

Для квадратных уравнений см. Решатель квадратных уравнений. Для простых линейных уравнений см. Решатель линейных уравнений.