叉积计算器

叉积的作用

两个三维向量 a 和 b 的叉积 a × b 是第三个向量，垂直于 a 和 b，其大小等于它们张成的平行四边形的面积。它在物理学和三维图形中频繁出现：计算表面法向量、扭矩、角动量，或由三个点定义的三角形的面积。

使用的公式

对于 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)：

a × b = (a₂b₃ − a₃b₂,  a₃b₁ − a₁b₃,  a₁b₂ − a₂b₁)

计算器还从中推导出：

• a、b 和 a × b 的大小（通过 √(x² + y² + z²)）
• 叉积的单位向量 — a × b 除以其自身大小，提供无长度的方向
• 平行四边形面积 — 等于 |a × b|
• 三角形面积 — 平行四边形面积的一半，用于计算两条边为 a 和 b 的三角形面积
• 点积，用于通过 cos θ = (a · b) / (|a||b|) 获取 a 和 b 之间的角度
• 垂直性检查 — a · (a × b) 和 b · (a × b)，在精确算术中始终为 0，确认叉积确实垂直于两个输入

右手法则

a × b 的方向（不仅仅是其分量）遵循右手法则：将手指沿 a 指向，向 b 方向弯曲手指，你的大拇指指向 a × b。交换顺序会翻转符号 — b × a = −(a × b) — 这就是为什么叉积的顺序很重要，并且与点积不同，它不具有交换律。

叉积何时为零向量?

只要 a 和 b 平行（包括其中一个为零向量的情况）— 就没有唯一的垂直方向可以指向，它们张成的"面积"会缩为零。计算器会明确标注这一点，而不是显示一个零除的单位向量。

如何使用

1. 输入向量 a 的 x、y、z 分量。
2. 输入向量 b 的 x、y、z 分量。
3. 查看叉积向量、其大小/单位形式、所隐含的面积以及两个原始向量之间的角度。

常见问题

我可以对二维向量使用吗? 可以 — 将两个向量的 z 分量保留为 0。结果的 x 和 y 分量也将为 0，只留下 z 分量，这是大多数人实际想要的标准"二维叉积"（标量）。

当我只输入 x、y 值时，为什么我的叉积的 z 分量不为零? 检查你是否确实将两个 z 字段都保留为 0 — 如果任一向量的 z 非零，那么这些向量与 xy 平面不共面，叉积将不是纯垂直的。

这个计算器会存储我的数据吗? 不会。所有操作都在你的浏览器中进行 — 你的向量和结果永远不会被发送或存储在我们的服务器上。