伽玛函数计算器

这个计算器有什么作用？

输入一个实数 x，此工具将计算 伽玛函数 Γ(x) 及其自然对数 ln|Γ(x)|。伽玛函数将阶乘扩展到非整数和负实数：对于正整数 n，Γ(n) = (n-1)!。使用 Lanczos 近似计算，精度约为 14-15 位有效数字。

如何使用

1. 输入 x 的值，范围在 -50 到 170 之间 — 超出此范围，真实值要么向零下溢，要么超过 64 位浮点数能表示的范围。
2. 从结果表中读取 Γ(x) 和 ln|Γ(x)|。当 Γ(x) 本身变得非常巨大时（在 x = 100 处，Γ(x) 已经超过 10¹⁵⁵），对数列很有用 — 其对数保持在您可以实际比较的正常大小数字。

数学

对于正实数 x，伽玛函数由反常积分定义：

Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x-1) · e^(-t) dt

它满足递推关系 Γ(x+1) = x · Γ(x)，这与阶乘遵循的关系相同 — 因此 Γ(1) = 1、Γ(2) = 1、Γ(3) = 2、Γ(4) = 6，一般地对于正整数有 Γ(n) = (n-1)!。

对于非整数，Γ(0.5) = √π ≈ 1.7725，半整数值遵循由此构建的 Γ(n + 1/2) 公式。对于负非整数，Euler 的 反射公式 扩展了函数：

Γ(x) · Γ(1-x) = π / sin(πx)

这就是此计算器处理 x < 0.5 的方式 — 它使用相同的 Lanczos 近似计算 Γ(1-x)，然后求解 Γ(x)。函数在零和所有负整数处 未定义（极点处 sin(πx) = 0 使分母消失）— 计算器用错误拒绝这些输入，而不是显示不正确的结果。

使用案例示例

• 组合数学和概率 — 伽玛函数是 伽玛分布、贝塔分布 和 Student t 分布的基础，这些分布都需要在非整数参数（如半整数自由度）处计算 Γ。
• 非整数参数的组合公式 — 广义二项式系数和 Stirling 型近似自然地通过 Γ(x) 扩展，而不是仅限于整数阶乘。
• 物理和工程 — Γ(x) 出现在 Maxwell-Boltzmann 和 Bose-Einstein 统计的归一化常数中，以及某些微分方程的解中。
• 快速检查阶乘值 — 由于 Γ(n) = (n-1)!，输入 x = 11 可得到 10! = 3628800，无需单独的阶乘计算器。

隐私

所有计算都在您的浏览器中本地运行 — 您的输入永远不会发送到服务器。

相关工具

对于相关的互补误差函数，请参见 互补误差函数计算器。对于一般描述统计，请参见 统计计算器。