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三角形和三角学计算器
开发人员
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指导
三角形和三角学计算器
从三个已知值求解任何三角形 — 输入任意有效组合的边和角（SSS、SAS、ASA、AAS、SSA），即可立即获得所有缺失的测量值、面积、周长、高度、内切圆半径、外接圆半径以及三角形分类。包括分步解决方案、SVG 图形以及特殊直角三角形的快速参考。
如何使用
请输入至少三个已知值（边和/或角），其中至少有一条边。计算器会自动检测配置（SSS、SAS、ASA、AAS 或 SSA），并使用余弦定律、正弦定律和勾股定理求解所有未知量。可在度与弧度之间切换角度单位。向下滚动以查看显示每个公式和中间计算的分步解决方案，以及三角形的 SVG 图形。
特征
- 三角形求解器 — 输入任意有效的 3 个或更多边和角的组合。求解所有 3 条边、所有 3 个角、面积、周长、高度、内切圆半径和外接圆半径。
- 自动配置检测 — 自动识别 SSS、SAS、ASA、AAS 或 SSA，并应用正确的求解方法。处理具有两个可能解的模糊 SSA 情况。
- 分步解决方案 — 精确查看使用了哪些公式以及如何计算每个值。非常适合学习或核对作业。
- SVG 三角形图 — 已解三角形的可视化表示，带有标记的边和角，尺寸与实际测量值大致成比例。
- 三角形分类 — 按边（等边、等腰、不等边）和按角（锐角、直角、钝角）分类。
- 特殊直角三角形 — 常用三角形（30-60-90、45-45-90、3-4-5、5-12-13、8-15-17）的快速参考，带有可单击的预设值，可填充求解器。
- 度/弧度切换 — 在度与弧度角度单位之间切换。
- 输入验证 — 三角形不等式检查、角度和验证以及清晰的无效三角形错误消息。
使用的公式
余弦定律： c² = a² + b² − 2ab·cos(C)
正弦定律： a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
勾股定理： a² + b² = c² （直角三角形）
面积（SAS）： ½·a·b·sin(C)
面积（海伦公式）： √(s(s−a)(s−b)(s−c)) 其中 s = (a+b+c)/2
高度： hₐ = 2·面积/a
内切圆半径： r = 面积/s
外接圆半径： R = a/(2·sin(A))
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此计算器可以求解哪些三角形配置？
此计算器可求解任意有效三角形，输入三个或更多已知值，只要至少提供一条边即可。支持的配置：SSS（三边）、SAS（两边及夹角）、ASA（两角及夹边）、AAS（两角及非夹边）以及 SSA（两边及非夹角）。SSA 情况比较特殊，因为它可能产生零个、一个或两个有效三角形 — 计算器会处理这种情况并显示所有可能的解。
什么是模糊情况（SSA）？
当您知道两条边和一个与其中一条边相对的角（SSA）时，可能会有零个、一个或两个有效三角形。发生这种情况是因为给定信息不能唯一确定三角形。例如，如果边 a = 8，边 b = 6，角 A = 30°，则有两个三角形满足这些条件。计算器会检测到这种模糊性，并在存在时显示两种解，或解释为何不存在有效三角形。
什么是特殊直角三角形？
特殊直角三角形的角度或边长比会产生简洁、易记的数字。30-60-90 三角形的边长比为 1:√3:2，45-45-90 三角形的边长比为 1:1:√2。毕达哥拉斯三元组，如 3-4-5、5-12-13 和 8-15-17，是三条边均为整数的直角三角形。这些在几何、建筑和标准化考试中很常用，因为它们可以简化计算。
如何计算三角形面积？
根据已知值，三角形面积可以通过多种方式计算。已知两边及其夹角（SAS）：面积 = ½·a·b·sin(C)。已知三边（SSS），使用海伦公式：面积 = √(s(s−a)(s−b)(s−c))，其中 s 是半周长 (a+b+c)/2。已知底和高：面积 = ½·底·高。此计算器使用最适合给定输入的公式，并在分步解决方案中显示计算过程。
