ガンマ関数計算機

この計算機は何をしますか？

実数 x を入力すると、このツールは ガンマ関数 Γ(x) と、その自然対数 ln|Γ(x)| を計算します。ガンマ関数は階乗を非整数および負の実数に拡張します：正の整数 n に対して、Γ(n) = (n-1)! です。Lanczos 近似を使用して計算され、約 14-15 有効数字の精度があります。

使い方

1. x の値を -50 から 170 の間で入力してください — この범囲外では、真の値がゼロに向かってアンダーフローするか、64 ビット浮動小数点数で表現できる範囲を超えます。
2. 結果テーブルから Γ(x) と ln|Γ(x)| を読み取ります。ログの列は、Γ(x) 自体が天文学的に大きくなるときに便利です（x = 100 で、Γ(x) は既に 10¹⁵⁵ を超えています）— その対数は通常のサイズの数のままで、実際に比較することができます。

数学

正の実数 x に対して、ガンマ関数は広義積分で定義されます：

Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x-1) · e^(-t) dt

これは Γ(x+1) = x · Γ(x) の漸化式を満たし、これは階乗が従う同じ関係です — したがって Γ(1) = 1、Γ(2) = 1、Γ(3) = 2、Γ(4) = 6、そして一般的に正の整数に対して Γ(n) = (n-1)! です。

非整数の場合、Γ(0.5) = √π ≈ 1.7725、および半整数値は Γ(n + 1/2) の式に従います。負の非整数に対して、Euler の 反射公式 は関数を拡張します：

Γ(x) · Γ(1-x) = π / sin(πx)

これが計算機が x < 0.5 を処理する方法です — それは同じ Lanczos 近似で Γ(1-x) を計算し、Γ(x) を解きます。関数は ゼロおよびすべての負の整数で未定義 です（極では sin(πx) = 0 のため分母が消えます）— 計算機はこれらの入力を誤った結果を示すのではなくエラーで拒否します。

ユースケースの例

• 組合せ論と確率 — ガンマ関数は ガンマ分布、ベータ分布、Student の t 分布の基礎となり、これらはすべて非整数の引数（半整数の自由度など）で Γ を評価する必要があります。
• 非整数引数を持つ組合せ公式 — 一般化された二項係数と Stirling 型近似は、整数階乗に制限されるのではなく、Γ(x) を通じて自然に拡張されます。
• 物理と工学 — Γ(x) は Maxwell-Boltzmann および Bose-Einstein 統計の正規化定数に現れ、特定の微分方程式の解に現れます。
• 階乗値の迅速なチェック — Γ(n) = (n-1)! なので、x = 11 を入力すれば、別の階乗計算機なしで 10! = 3628800 が得られます。

プライバシー

すべての計算はブラウザでローカルに実行されます — 入力はサーバーに送信されません。

関連ツール

密接に関連する補正誤差関数については、補正誤差関数計算機 を参照してください。一般的な記述統計については、統計計算機 を参照してください。