Löser der quadratischen Formel
Führung
Löser der quadratischen Formel
Geben Sie die Koeffizienten ein le, bund c der allgemeinen quadratischen Gleichung in der Form ax² + bx + c = 0 und erhalten sofort die Diskriminante, die beiden Wurzeln (reell oder komplex), den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse, die Scheitelpunktform, eine schrittweise Herleitung und einen visuellen Skizzen der Parabel. Alles wird lokal im Browser mit exakten geschlossenen Formeln berechnet – ohne gerundete Approximationen, ohne AI-Vorhersagen, ohne verborgene API-Aufrufe.
Nutzung
- Geben Sie den führenden Koeffizienten ein le (muss nicht null sein, um eine quadratische Gleichung zu sein).
- Geben Sie den linearen Koeffizienten ein b (verwenden Sie ein Minuszeichen für negative Werte, z. B. −3).
- Geben Sie die Konstante ein c.
- Die Zusammenfassung, die schrittweise Lösung und der Parabelskizze aktualisieren sich, während Sie eingeben.
- Klicken Sie auf einen der Quick-Beispiele, um einen Fall mit zwei reellen Wurzeln, wiederholter Wurzel, komplexen Wurzeln oder goldenem Verhältnis zu laden.
- Drücken Sie die Kopfzeile, um den vollständigen Text der Zusammenfassung für Notizen oder Hausaufgaben zu kopieren.
Funktionen
- Zerlegung der Diskriminante – Berechnet Δ = b² − 4ac und kennzeichnet den Fall (zwei reelle, wiederholte oder komplexe Wurzeln).
- Alle Wurzelnarten – Behandelt zwei verschiedene reelle Wurzeln, eine wiederholte reelle Wurzel und komplexe konjugierte Wurzeln im Format ± bi.
- Scheitelpunkt und Symmetrieachse – Zeigt den Scheitelpunkt (h, k), die Achse x = h und ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.
- Scheitelpunktform – Umformt die quadratische Gleichung in die Form a(x − h)² + k, um sie für die Zeichnung oder Transformation zu verwenden.
- Vollständige schrittweise Herleitung – Zeigt jede Substitution von der Diskriminante bis zu den endgültigen Wurzeln, damit Sie Ihre Hausaufgaben überprüfen oder das Verfahren lernen können.
- SVG-Parabelskizze – Zeigt eine saubere, skalierbare Parabel mit Scheitelpunkt, reellen Wurzeln und Achse der Symmetrie hervorgehoben.
- Ausnahmefälle behandelt – Erkennung degenerierter Eingaben (a = 0 fällt zurück auf eine lineare Gleichung; a = b = 0 gibt die trivialen Fälle an).
- Privat und offline-fähig – Alle Berechnungen erfolgen im Browser. Keine Koeffizienten werden an einen Server gesendet.
Häufig gestellte Fragen
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Was ist die quadratische Formel?
Die quadratische Formel liefert die Wurzeln jeder Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Sie lautet x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Der Ausdruck unter der Wurzel, b² − 4ac, heißt Diskriminante und bestimmt, ob die Wurzeln reell oder komplex sind.
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Was sagt die Diskriminante aus?
Die Diskriminante Δ = b² − 4ac klassifiziert die Wurzeln ohne ihre Berechnung. Wenn Δ größer als null ist, schneidet die Parabel die x-Achse an zwei verschiedenen reellen Stellen. Wenn Δ gleich null ist, berührt die Parabel die x-Achse an einem einzigen, wiederholten Punkt. Wenn Δ kleiner als null ist, schneidet die Parabel die x-Achse nicht und die beiden Wurzeln sind komplexe Konjugatwerte der Form −b/(2a) ± i√|Δ|/(2a).
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Was sind komplexe Wurzeln und wann treten sie auf?
Komplexe Wurzeln treten auf, wenn die Diskriminante negativ ist, da man die reellen Wurzel aus einem negativen Wert ziehen kann. Die Wurzeln werden immer als konjugierte Paare p + qi und p − qi dargestellt, wobei i die imaginäre Einheit ist, definiert durch i² = −1. Geometrisch bedeutet dies, dass die Parabel nie an einer reellen Stelle die x-Achse schneidet.
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Was ist die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion und warum ist sie nützlich?
Die Scheitelpunktform a(x − h)² + k ergibt sich durch Vollständige Quadratbildung aus der Standardform. Sie zeigt den Scheitelpunkt (h, k) direkt, sodass man den tiefsten Punkt (wenn a positiv ist) oder den höchsten Punkt (wenn a negativ ist) ohne die Gleichung zu lösen ablesen kann. Außerdem ist sie für die Zeichnung und Übungen zur Transformation viel praktischer.
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Was ist die Symmetrieachse einer Parabel?
Jede Parabel ist symmetrisch bezüglich einer vertikalen Linie, die durch ihren Scheitelpunkt verläuft. Für y = ax² + bx + c ist diese Linie x = −b/(2a), das gleiche Wert wie die x-Koordinate des Scheitelpunkts. Wenn man die Symmetrieachse kennt, kann man jeden Punkt auf der Parabel spiegeln, um einen entsprechenden Punkt auf der gegenüberliegenden Seite zu finden.
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