無限級数和計算機

無限級数和計算機は、8つの古典的な無限級数 — 幾何級数、p級数、伸縮級数、交代調和級数、ライプニッツ、バーゼル、指数関数(eˣ)、交代p級数 — の正確な閉形式の和を求めます。収束の正確な理由、使用される公式、部分和の表が含まれており、級数がその和にどのくらい速く(または遅く)実際に収束するかが示されます。

使い方

1. ドロップダウンから級数族を選択します。
2. その族のパラメーターを入力します — 幾何級数の場合は最初の項と公比、p級数の場合は指数、伸縮級数の場合は間隔など。いくつかの族(交代調和、ライプニッツ、バーゼル)はパラメーターがありません。
3. 表示する部分和の数を選択します。
4. 正確な和と公式を読むか、収束の判定根拠の背後にある理由について、完全なステップバイステップの導出を読みます。

一般的なp級数と交代p級数が素朴な部分和ではない理由

ほとんどの指数pに対して、Σ 1/nᵖとΣ (-1)ⁿ⁻¹/nᵖは初等的な閉形式がありません — 真の「閉形式」は**リーマンゼータ関数ζ(p)とディリクレエータ関数η(p)*です。単に数千の生の項を加算するだけの計算機は、pが1に近い場合に非常に遅く収束します(交代調和級数は1桁の精度に数十億*の項が必要です)。このツールは代わりに:

• オイラー・マクローリン和公式を使用して**ζ(p)**を評価します — mpmathおよびPARI/GPで使用されているのと同じ手法 — p > 1の任意の値に対して約14桁の有効数字まで正確で、偶数整数指数に対して正確な既知値(π²/6, π⁴/90, π⁶/945, π⁸/9450, π¹⁰/93555)を直接表示します。
• 交代級数にオイラー変換を適用することで**η(p)**を評価し、数千の生の項から約30への収束を加速させます — p > 0の任意の値に対して約10桁の有効数字まで正確です。

8つの級数

• 幾何級数 — Σ a·rⁿ。|r| < 1の場合に限り収束し、a·rⁿ⁰/(1 − r)に和します。
• p級数 — Σ 1/nᵖ。p > 1の場合に限り収束し、ζ(p)(リーマンゼータ関数)に和します。
• 伸縮級数 — Σ 1/(n(n + k))。常に収束します。1/(n(n+k)) = (1/k)[1/n − 1/(n+k)]であり、すべての内部項がキャンセルされるためです。
• 交代調和級数 — Σ (-1)ⁿ⁻¹/n。ln 2に和します。
• ライプニッツ — Σ (-1)ⁿ/(2n + 1)。π/4に和します — 一般的な使用における最も遅く収束する級数の1つ(arctan(1))。
• バーゼル問題 — Σ 1/n²。π²/6に和します、オイラーの有名な1734年の結果。
• 指数関数 — Σ xⁿ/n!。すべての実数xに対して収束し、eˣに和します。
• 交代p級数 — Σ (-1)ⁿ⁻¹/nᵖ。p > 0の場合に限り収束し(0 < p ≤ 1に対して条件付き)、η(p)(ディリクレエータ関数; η(1) = ln 2正確)に和します。

反対方向に進む場合 — 1つの級数を求和するのではなく、関数をべき級数に展開する — テイラー級数計算機を参照するか、既に持っている級数が級数収束テスト計算機で収束するかを確認してください。

プライバシー

この計算機はブラウザで完全に実行されます。選択した級数族とパラメーターはアップロード、記録、保存されません。