笛卡尔符号规则计算器

笛卡尔符号规则计算器可以找出多项式可能拥有的正实根和负实根的数量，而无需求解。从最高次项到常数项输入系数，它将计算符号变化，列出所有可能的根数，并构建完整的根组合（正、负、复数）表，与多项式的次数一致。

它专为代数和前微积分学生在因式分解或应用二次/三次公式前验证根数而设计，也为任何想快速了解预期有多少实根的人设计。

使用方法

1. 输入系数，用逗号或空格分隔，从最高次项到常数项。例如，1,-3,2,5,-1表示x⁴ - 3x³ + 2x² + 5x - 1。
2. 读取f(x)和f(-x)的符号变化计数。
3. 检查可能的根计数和根的组合表，了解每个有效的（正、负、复数）分割。
4. 使用逐步推导查看如何到达每个计数。

结果会在输入时自动更新。

什么是笛卡尔符号规则？

对于具有实系数的多项式，从最高次项写到常数项：

• 正实根的数量（计重数）要么等于f(x)的连续非零系数之间的符号变化数量，要么比这个数少偶数个。
• 负实根的数量遵循应用于**f(-x)**的同一规则——每个奇数次项的系数都取反的多项式。

计算符号变化时，零系数被完全跳过——它们不算作任何一种方向的"符号"，所以像x⁴ + 0x³ - 1这样的项被读作+, -（一次符号变化），而不是+, 0, -。

为什么是"或少偶数个"？

该规则给出的是上界而非精确计数，因为非实根总是以复共轭对的形式出现。如果符号变化表明最多3个正根，实际数量可能是3或1——"缺失的"2个将是复共轭对。这就是为什么计算器列出每种可能性（3、1）而不是单个数字，以及为什么根的组合表总是用偶数个复数根填充次数的剩余部分。

阅读根的组合表

每一行是解释多项式所有根的一种数学上一致的方式：正实根的计数、负实根的计数和复数（非实）根的计数——三者总是相加等于多项式的次数。例如，一个四次多项式具有3种可能的正符号变化和1个负符号变化，它可能有3个正根+ 1个负根+ 0个复数根，或1个正根+ 1个负根+ 2个复数根——两行都出现在表中，而实际的根（通过求解多项式找到）将恰好与其中一行匹配。

要真正求解根而不只是限制根的数量，请参阅三次方程求解器（适用于次数3）或二次公式求解器（适用于次数2）。

隐私

此计算器完全在浏览器中运行。您的系数永远不会被上传、记录或存储——计算在您的设备上本地进行。