二重积分计算器
使用复合二维辛普森法则对矩形区域 [a, b] × [c, d] 上的 f(x, y) 进行二重积分的数值计算，显示积分设置和方法以及数值结果。
输入
用 x 和 y 表示的被积函数 — mathjs语法: ^ 表示幂，sqrt()、sin()、cos()、log() 等。
输出
使用此工具的更多方式
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/double-integral-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"f": "x*y",
"a": "0",
"b": "1",
"c": "0",
"d": "1"
}'替换成您账户中的密钥。工具的字段即为请求体——没有额外包装。
让 AI 代理执行
Use the IOTools `double-integral-calculator` tool (Double Integral Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HERE将此粘贴给任何已连接 IOTools MCP 服务器的代理,再加上您的输入内容。
嵌入式小组件
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<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>把它放到您自己的页面上——免费,无需密钥,只需保留一个反向链接。
| 每次 API/MCP 调用费用 | 5 积分起 |
|---|---|
| 需要更多积分? | 查看定价 |
也可通过
使用指南
二重积分计算器对矩形区域 R = [a, b] × [c, d] 上的 ∫∫ f(x, y) dy dx 进行数值计算 — 曲面 z = f(x, y) 与矩形上方 xy 平面之间的体积。它同时显示积分设置（区域和 f(x, y) 的写法）以及使用的方法，因此这个数值不是一个黑盒子。
它专为验证多变量微积分作业答案的学生以及需要快速数值二重积分而无需手工推导反导数的任何人而设计。
使用方法
- 输入函数 f(x, y) — 支持标准数学符号：
^表示幂，*表示乘法，还支持sqrt()、sin()、cos()、log()以及 mathjs 表达式解析器支持的其他函数。 - 输入 x 的外侧边界：x 下界 (a) 和 x 上界 (b)。
- 输入 y 的内侧边界：y 下界 (c) 和 y 上界 (d)。
- 查看 ∫∫ f(x, y) dA 的数值结果，积分设置 的积分写法，以及 详情 中使用的方法和格点分辨率。
结果会随着您的输入自动更新。例如，函数 f(x, y) = x*y 在 [0, 1] × [0, 1] 上的计算结果为 0.25。
二重积分是如何计算的？
计算器使用 复合二维辛普森法则 （嵌套的一维辛普森法则）：区域被分为 101×101 个格点网格（每个轴 100 个细分）。对于 101 个 x 值中的每一个，辛普森法则在 [c, d] 中的所有 101 个 y 值上对 f(x, y) 关于 y 积分；这 101 个内部结果随后通过辛普森法则在 x 上再次组合。这对每个变量中总次数 ≤ 3 的任何多项式都是精确的，对光滑函数（三角函数、根式、对数）通常精确到多个有效数字 — 反导数从不进行符号计算。
仅支持具有常数数值边界的矩形区域 — 本身是另一个变量的表达式的边界（如三角形或曲线区域）超出本计算器的范围。
我可以输入哪些函数？
任何 mathjs 表达式求值器支持的函数：多项式（x^2*y - 2*x）、三角函数（sin(x)*cos(y)）、根式和对数（sqrt(x*y)、log(x+y)）以及这些的组合，使用 x 和 y 作为两个变量。三角函数中的角度默认为弧度 — 用 pi 表示 π。
要直接计算单变量表达式或任意数学表达式，请参见 Math Evaluator；要计算三维向量场的散度，请参见 散度计算器。
隐私
此计算器完全在您的浏览器中运行。您的函数和界限从不上传、记录或存储 — 计算在您的设备上本地进行。