二項定理展開計算機

二項定理展開計算機は、任意の整数指数まで 50 に対して (a + b)ⁿ を展開し、展開のすべての項を二項係数、計算された数値係数、および代数形式とともにリストします。項 a、項 b、および指数 n を入力して、完全な展開、項ごとの詳細テーブル、および 2 つの実行中の合計を取得します。

これは、二項展開を手で検証する代数と組合せ論の学生、作業例を準備する教師、および反復乗算で展開するには指数が大きすぎる正確な展開が必要な人向けに構築されています。

使い方

1. 項 a を入力します。整数係数とオプションの単一文字変数です。例: 2x、-y、または 3。
2. 項 b を同じ形式で入力します。
3. 指数 (n) をスライダーで設定します。0 から 50 まで。
4. 式と完全展開を読み、項テーブルをスキャンして各項の二項係数と値を確認し、2 つの係数合計をチェックします。

入力すると結果が自動的に更新されます。たとえば、a = 2x、b = 3、n = 4 は 16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81 に展開されます。

二項定理

整数 n に対して、(a + b)ⁿ は以下のように展開されます:

(a + b)^n = Σ (k = 0 to n) C(n,k) · a^(n−k) · b^k

各 C(n,k) — 「n choose k」と読みます — はパスカルの三角形の行 n の二項係数です: C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!)。計算機は行 n までパスカルの三角形を構築し、各係数に a^(n−k) · b^k を掛けて各項の最終的な数値係数を得ます。

n = 50 での正確な算術が重要な理由

9 を 50 乗した係数は 48 桁です。これは通常の浮動小数点数で正確に表現できるもの (約 15–17 の有効数字を超えると精度が失われます) をはるかに超えています。ここのすべてのステップ — パスカルの三角形、各項の係数、両方の実行中の合計 — は任意精度整数演算で計算されるため、係数や指数がどれほど大きくても結果は正確なままです。

2 つの係数の合計

• 二項係数の合計 は C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) で、常に 2ⁿ に等しくなります。a と b が実際に何であるかに関係なく。
• すべての係数の合計 は各項の 計算された 数値係数の合計です (二項係数に a と b 自身の係数の累乗を掛けたもの)。変数を 1 に設定するとその理由が分かります。数値係数だけで評価した (a + b)ⁿ に常に等しくなります。2x + 3 の場合は (2 + 3)^4 = 625 で、16 + 96 + 216 + 216 + 81 に一致します。

同様の変数を組み合わせる

両方の項が 同じ 変数文字を使用する場合 (例: x と x)、計算機は指数を 1 つの累乗にマージして、並べて表示する代わりに — したがって (x + x)^2 は 4x^2 と読まれます。4x^1x^1 ではなく。異なる変数文字 (例: x と y) は別のままで、x^3y のような混合項を生成します。

プライバシー

この計算機はブラウザ内で完全に実行されます。あなたの項と指数はアップロード、ログ、または保存されることはありません。計算はデバイスでローカルに行われます。

関連ツール

異なる代数ルートで解決された関連する 2 項方程式については、二乗完成計算機 を参照してください。