発散度計算機
3次元ベクトル場 F(x, y, z) = (P, Q, R) のある点における発散度を計算します。簡略化された記号的な発散度と、段階的な偏微分導出を表示します。
入力
F(x, y, z) = (P, Q, R) の i 成分。
F の j 成分。
F の k 成分。
発散度を評価する点 (x, y, z)。
出力
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REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/divergence-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"p": "x^2*y",
"q": "y*z",
"r": "x*z^2",
"x": "1",
"y": "2",
"z": "3"
}'ご自身のアカウントのキーに差し替えてください。ツールのフィールドがそのままリクエストボディになります——ラッパーはありません。
AIエージェントに依頼する
Use the IOTools `divergence-calculator` tool (Divergence Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREIOTools MCPサーバーに接続された任意のエージェントにこれを貼り付け、入力内容を追加してください。
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ガイド
発散度計算機は、3次元ベクトル場 F(x, y, z) = (P, Q, R) のある点における 発散度 を求めます。発散度とは、その点からのベクトル場の流出量を測定するスカラーです。簡略化された記号的な発散度（x、y、z の関数）を、選択した点での数値的な発散度の値と共に表示し、その点が源（ソース）か吸い込み（シンク）か中立かを判断する分かりやすい説明、および関与するすべての偏微分の完全な段階的導出を提供します。
多変数微積分およびベクト微積分の学生が宿題の答えを確認するため、また手作業で 3 つの偏微分を計算することなく div F が必要な場合に使用されます。
使用方法
- ベクト場の 3 つの成分を入力します: P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z) — 標準的な数学表記が使えます:
^は累乗、*は乗算、さらにsqrt()、sin()、cos()、log()、および mathjs の式パーサーがサポートする他の関数が使えます。 - 発散度を評価する点 (x, y, z) を入力します。
- (x, y, z) における div F で数値的な発散度を読むか、記号的な div F で簡略化された式、解釈 でその点が源か吸い込みかを確認できます。
- 段階的な導出 は 3 つの偏微分すべて、簡略化された記号的な発散度、および最終的な数値評価を表示します。
結果は入力に応じてリアルタイムで更新されます。例えば、ベクト場 F = (x^2*y, y*z, x*z^2) を点 (1, 2, 3) で評価すると、発散度 13 が返されます — この点での純粋な源です。
発散度とは？
ベクト場 F(x, y, z) = (P, Q, R) の場合、発散度は次のように定義されます:
div F = ∇ · F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z物理的には、発散度はある点からの単位体積あたりの正味の流出を測定します — ベクト場を流体の速度と考えると、正の発散度 はその点から流体が流出していることを意味します（源）、負の発散度 は流体が流入していることを意味します（吸い込み）、どこでもゼロの発散度 は場が 非圧縮 であることを意味します（ソレノイド とも呼ばれます） — 流体はどこにも蓄積または枯渇しません。
なぜ計算機は記号的な発散度も表示するのか？
発散度はそれ自体スカラー場です — (x, y, z) の関数 — 1 つの点での単なる数ではありません。数値を代入する前に、簡略化された記号的な式を見ることで、div F がどこでもゼロか（非圧縮）、定数か、または点から点へと変わるかを確認することができます。これを単一の計算値だけでは示すことはできません。ある 1 つの点で発散度がゼロでも、他の場所では非圧縮ではない可能性があります — 記号的な形式がこれを明確にします。
どのような関数を入力できますか？
mathjs の式評価機が理解する任意のもの: 多項式（x^2*y - 2*z）、三角関数（sin(x*z)、cos(y)）、根と対数（sqrt(x)、log(y)）、およびこれらの組み合わせ。3 つの変数として x、y、z を使用します。三角関数の角度はデフォルトではラジアンです — π は pi と書きます。
ベクト場の回転度（カール）を求めるには、回転度計算機 を参照してください。任意の数学式を直接評価するには、Math Evaluator を参照してください。
プライバシー
この計算機はブラウザ内で完全に実行されます。ベクト場と点がアップロード、ログ記録、保存されることはありません — 計算はデバイス上でローカルに行われます。