Calculadora de Derivada Direcional

A Calculadora de Derivada Direcional encontra a taxa de mudança de uma função f(x, y, z) em um ponto P, ao longo de qualquer vetor de direção que você escolher. Mostra o gradiente simbólico e numérico nesse ponto, a própria derivada direcional e a taxa máxima possível de mudança junto com a direção unitária exata em que é alcançada — com uma derivação completa passo a passo.

Foi construída para estudantes de cálculo multivariável verificando uma resposta de lição de casa, e para qualquer pessoa que precise de uma derivada direcional sem diferenciar três derivadas parciais e normalizar um vetor à mão.

Como usar

1. Insira sua função f(x, y, z) — a notação matemática padrão funciona: ^ para potências, * para multiplicação, mais sqrt(), sin(), cos(), log() e outras funções suportadas pelo analisador de expressões mathjs. Trabalhando com uma função de 2 variáveis? Apenas omita z da expressão.
2. Insira o ponto (x, y, z) para avaliar.
3. Insira um vetor de direção (a, b, c) — não precisa ser um vetor unitário; a calculadora normaliza automaticamente.
4. Leia Derivada Direcional D_u f(P) para a taxa de mudança nessa direção, Gradiente ∇f(P) para o vetor gradiente numérico, e Taxa Máxima de Mudança com Direção da Taxa Máxima para o aumento mais rápido possível e para qual direção aponta.

Os resultados são atualizados automaticamente conforme você digita. Por exemplo, f = x*y*z em (1, 2, 3) ao longo da direção (1, 1, 1) retorna uma derivada direcional de 6.35085, com uma taxa máxima possível de mudança de 7 alcançada ao longo de (0.857143, 0.428571, 0.285714).

O que é uma derivada direcional?

Para uma função escalar f(x, y, z), a derivada direcional ao longo de um vetor unitário u é:

D_u f(P) = ∇f(P) · u

Mede a rapidez com que f muda se você se afastar de P na direção u — uma generalização de uma derivada ordinária (que apenas informa a taxa de mudança ao longo de um eixo) para qualquer direção no espaço. Se seu vetor de direção ainda não for um vetor unitário, ele será normalizado primeiro (dividido por seu próprio comprimento), pois apenas a direção, não a magnitude, de v deve afetar a resposta.

Por que a taxa máxima de mudança é importante?

O produto escalar ∇f(P) · u é maior quando u aponta na mesma direção que o gradiente em si — isso é uma consequência direta da identidade dot-product-as-cosine, já que cos(0°) = 1 é o maior valor que o cosseno pode atingir. Portanto, o gradiente sempre aponta na direção de maior ascensão, e sua magnitude |∇f(P)| é essa taxa máxima. Esta calculadora relata ambos: a taxa de mudança ao longo da direção que você perguntou, e a melhor taxa possível disponível nesse ponto.

Quais funções posso inserir?

Tudo o que o avaliador de expressões mathjs entende: polinômios (x^2*y - 2*z), funções trigonométricas (sin(x*z), cos(y)), raízes e logaritmos (sqrt(x), log(y)), e combinações destes, usando x, y e z como as três variáveis. Ângulos em funções trigonométricas estão em radianos por padrão — escreva pi para π.

Precisa do rotacional de um campo vetorial em vez do gradiente de uma função escalar? Veja a Calculadora de Rotacional. Para avaliar expressões matemáticas arbitrárias diretamente, veja o Avaliador Matemático.

Privacidade

Esta calculadora funciona inteiramente no seu navegador. Sua função, ponto e vetor de direção nunca são carregados, registrados ou armazenados — o cálculo acontece localmente no seu dispositivo.