L'Hôpital's Rule Calculator

A Calculadora da Regra de L'Hôpital resolve um limite da forma f(x)/g(x) quando x se aproxima de um ponto a, sempre que a substituição direta gera uma forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞. Ela diferencia repetidamente o numerador e o denominador até que a forma deixe de ser indeterminada, então avalia a razão resultante — mostrando a forma encontrada em cada passagem e a cadeia completa de derivadas até a resposta final.

Ela foi construída para estudantes de cálculo verificando um limite à mão, e para qualquer pessoa que precisa resolver um limite indeterminado sem diferenciar a mesma expressão várias vezes no papel.

Como usar

1. Digite o numerador f(x) e o denominador g(x) — notação matemática padrão funciona: ^ para potências, * para multiplicação, mais sqrt(), sin(), cos(), log(), e outras funções suportadas pelo avaliador de expressões mathjs.
2. Escolha a variável (x, y, z ou t) e digite o ponto limite a — um número simples, ou Infinity / -Infinity para um limite no infinito.
3. Leia o Limite para a resposta final, a Forma Indeterminada para o que a substituição direta produziu (0/0, ∞/∞, ou "não indeterminado" se a regra não precisava ser executada), e as Aplicações da Regra para quantas vezes ela diferenciou.
4. Derivação Passo a Passo mostra f(a) e g(a) em cada passagem, cada diferenciação e a avaliação final.

Os resultados são atualizados automaticamente enquanto você digita. Por exemplo, sin(x)/x como x → 0 é uma forma 0/0; uma aplicação dá cos(x)/1, que avalia para 1 — então o limite é 1. ln(x)/x como x → Infinity é uma forma ∞/∞; uma aplicação dá (1/x)/1, que avalia para 0 no infinito — então o limite é 0.

O que é a regra de L'Hôpital?

Se f(a)/g(a) é 0/0 ou ∞/∞ (uma forma indeterminada — a substituição direta não dá uma resposta real), então, desde que as derivadas existam e g′ não se anule perto de a:

lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f′(x)/g′(x)

Se a nova razão ainda for indeterminada, a regra pode ser aplicada novamente a f″/g″, e assim por diante — esta calculadora a aplica automaticamente, até 6 vezes, e para assim que a substituição dá um número genuíno (ou diverge para ±∞).

Por que verificar a forma antes de diferenciar?

A regra de L'Hôpital só se aplica a uma forma genuína 0/0 ou ∞/∞ — aplicá-la a um limite que já avalia diretamente dá uma resposta errada, não apenas desnecessária. Esta calculadora avalia f(a) e g(a) separadamente (nunca como uma razão) antes de tocar em uma derivada, para que apenas invoque a regra quando a forma realmente o justifica, e relata "não indeterminado" mais a resposta direta caso contrário.

Que funções posso digitar?

Qualquer coisa que o avaliador de expressão mathjs entenda: polinômios (x^2 - 1), funções trigonométricas (sin(x)), raízes, exponenciais e logaritmos (sqrt(x), exp(x), log(x)), e combinações destes. Ângulos em funções trig estão em radianos por padrão — escreva pi para π.

Para encontrar uma derivada parcial de uma função multivariável passo a passo, veja a Calculadora de Derivada Parcial.

Privacidade

Esta calculadora roda inteiramente no seu navegador. Suas funções e ponto limite nunca são carregados, registrados ou armazenados — o cálculo acontece localmente no seu dispositivo.