Калькулятор двойного интеграла
Численно вычислите двойной интеграл от f(x, y) над прямоугольной областью [a, b] × [c, d] с использованием составного правила Симпсона 2D, показывая настройку интеграла и метод вместе с численным результатом.
Ввод
Функция для интегрирования в терминах x и y — синтаксис mathjs: ^ для степеней, sqrt(), sin(), cos(), log() и т.д.
Вывод
Другие способы использовать этот инструмент
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/double-integral-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"f": "x*y",
"a": "0",
"b": "1",
"c": "0",
"d": "1"
}'Подставьте свой собственный ключ из аккаунта. Поля инструмента — это тело запроса, без обёртки.
Спросите у ИИ-агента
Use the IOTools `double-integral-calculator` tool (Double Integral Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREВставьте это любому агенту, подключённому к MCP-серверу IOTools, и добавьте свой ввод.
Виджет для встраивания
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/double-integral-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="Калькулятор двойного интеграла — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>Вставьте это на свою страницу — бесплатно, без ключа, нужна лишь обратная ссылка.
| Стоимость вызова API/MCP | От 5 кредитов |
|---|---|
| Нужно больше кредитов? | Посмотреть тарифы |
Также доступно через
Руководства
Калькулятор двойного интеграла численно вычисляет ∫∫ f(x, y) dy dx над прямоугольной областью R = [a, b] × [c, d] — объём между поверхностью z = f(x, y) и плоскостью xy над этим прямоугольником. Наряду с численным результатом он показывает настройку интеграла (область и f(x, y), выписанные явно) и используемый метод, так что число не является чёрным ящиком.
Создан для студентов курса многомерного анализа, проверяющих ответ домашнего задания, и для всех, кому нужен быстрый численный двойной интеграл без вычисления первообразной вручную.
Как использовать
- Введите функцию f(x, y) — стандартная математическая нотация работает:
^для степеней,*для умножения, плюсsqrt(),sin(),cos(),log()и другие функции, поддерживаемые анализатором выражений mathjs. - Введите внешние пределы для x: нижний предел x (a) и верхний предел x (b).
- Введите внутренние пределы для y: нижний предел y (c) и верхний предел y (d).
- Прочитайте ∫∫ f(x, y) dA для численного результата, Настройка интеграла для выписанного интеграла и Подробности для используемого метода и разрешения сетки.
Результаты обновляются автоматически при вводе. Например, f(x, y) = x*y над [0, 1] × [0, 1] даёт 0.25.
Как вычисляется двойной интеграл?
Калькулятор использует составное правило Симпсона 2D (вложенное 1D правило Симпсона): область разбивается на сетку 101×101 точек (100 подразделений по каждой оси). Для каждого из 101 значений x правило Симпсона интегрирует f(x, y) по y по всем 101 значениям y в [c, d]; эти 101 внутренних результата затем комбинируются с помощью правила Симпсона вновь по x. Это точно для любого полинома полной степени ≤ 3 по каждой переменной и точно для нескольких значащих цифр для гладких функций вообще (тригонометрические, корни, логарифмы) — первообразная никогда не вычисляется символически.
Поддерживаются только прямоугольные области с постоянными численными пределами — пределы, которые сами являются выражениями в другой переменной (например, треугольная или криволинейная область), выходят за рамки этого калькулятора.
Какие функции я могу вводить?
Любые функции, которые понимает анализатор выражений mathjs: полиномы (x^2*y - 2*x), тригонометрические функции (sin(x)*cos(y)), корни и логарифмы (sqrt(x*y), log(x+y)) и их комбинации, используя x и y как две переменные. Углы в тригонометрических функциях по умолчанию в радианах — пишите pi для π.
Для вычисления выражения одной переменной в точке или произвольных математических выражений смотрите Math Evaluator; для дивергенции трёхмерного векторного поля смотрите Калькулятор дивергенции.
Конфиденциальность
Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Ваша функция и границы никогда не загружаются, не регистрируются и не сохраняются — вычисления происходят локально на вашем устройстве.