Калькулятор ряда Маклорена
Разложите распространённую функцию — eˣ, sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x), ln(1+x), 1/(1±x), arctan(x), √(1+x) или arcsin(x) — в её ряд Маклорена с точными рациональными коэффициентами, радиусом сходимости и опциональной оценкой относительно действительного значения функции.
Ввод
Опционально — сравнивает усечённый ряд с действительным значением f(x). Оставьте пустым для получения только символического результата.
Вывод
| n | Коэффициент (точная дробь) | Член |
|---|---|---|
| No data yet | ||
Другие способы использовать этот инструмент
REST API
curl -X POST https://api.iotools.cloud/v1/tool/maclaurin-series-calculator \
-H "Authorization: Bearer YOUR_API_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{
"func": "exp",
"nTerms": "6",
"x0": "1"
}'Подставьте свой собственный ключ из аккаунта. Поля инструмента — это тело запроса, без обёртки.
Спросите у ИИ-агента
Use the IOTools `maclaurin-series-calculator` tool (Maclaurin Series Calculator) on this input:
YOUR_INPUT_HEREВставьте это любому агенту, подключённому к MCP-серверу IOTools, и добавьте свой ввод.
Виджет для встраивания
<iframe
src="https://iotools.cloud/embed/maclaurin-series-calculator/"
width="100%" height="520" frameborder="0" scrolling="no" loading="lazy"
title="Калькулятор ряда Маклорена — iotools.cloud"
sandbox="allow-scripts allow-forms allow-same-origin allow-downloads allow-popups allow-popups-to-escape-sandbox"
allow="clipboard-write"
style="width:100%;border:1px solid #e5e7eb;border-radius:12px;overflow:hidden"></iframe>
<script src="https://iotools.cloud/embed.js" async></script>Вставьте это на свою страницу — бесплатно, без ключа, нужна лишь обратная ссылка.
| Стоимость вызова API/MCP | От 5 кредитов |
|---|---|
| Нужно больше кредитов? | Посмотреть тарифы |
Также доступно через
Руководства
Калькулятор ряда Маклорена разложит распространённую функцию — eˣ, sin(x), cos(x), sinh(x), cosh(x), ln(1+x), 1/(1−x), 1/(1+x), arctan(x), √(1+x) или arcsin(x) — в её ряд Маклорена (ряд Тейлора с центром в 0) с точными рациональными коэффициентами, истинным радиусом сходимости функции и опциональной оценкой относительно действительного значения функции.
Как его использовать
- Выберите функцию f(x) из раскрывающегося меню.
- Выберите, сколько членов показать (первые n ненулевых степеней x).
- По желанию введите точку x для сравнения усечённого ряда с действительным значением f там.
- Прочитайте Ряд Маклорена для разложения, таблицу Коэффициентов для точной дроби каждого члена и Радиус сходимости для того, где ряд действительно действителен.
Почему точные дроби вместо десятичных?
Каждая функция в этом списке имеет хорошо известную формулу коэффициента — факториал, фиксированный паттерн знаков или обобщённый биномиальный коэффициент — поэтому каждый коэффициент является подлинным рациональным числом. Округление его до десятичной дроби (0.166667 вместо 1/6) скрывает это и накапливает ошибку, если вы вручную связываете несколько членов. Этот калькулятор вычисляет каждый числитель и знаменатель как точное целое число (произвольная точность) и сокращает его до наименьших членов, поэтому то, что вы видите, — это коэффициент, а не его приближение.
Почему радиус сходимости важен
Ряд Маклорена полезен только там, где он действительно сходится. 1/(1 − x) и 1/(1 + x) имеют радиус 1 и расходятся в обеих конечных точках; ln(1 + x) и √(1 + x) также имеют радиус 1, но сходятся на одной конечной точке, а не на другой; arctan(x) и arcsin(x) сходятся в обеих конечных точках; и eˣ, sin(x), cos(x), sinh(x) и cosh(x) сходятся везде. Подстановка точки вне этого радиуса в усечённый полином даёт число, которое выглядит правдоподобно, но не имеет ничего общего с действительной функцией — поле Радиус сходимости и проверка области определения в точке вычисления существуют для того, чтобы это перехватить.
Нужен другой центр или функция, которой нет в этом списке?
Этот калькулятор охватывает только 11 функций выше, каждую с подлинно точной формулой коэффициента в закрытом виде. Для любой другой функции или ряда Тейлора около центра, отличного от 0, используйте Калькулятор ряда Тейлора, который символически дифференцирует любую функцию, которую вы вводите, около любого центра a (установка a = 0 там даёт тот же ряд Маклорена, просто с коэффициентами с плавающей точкой вместо точных дробей). Чтобы проверить, сходится ли уже имеющийся ряд, см. Калькулятор теста сходимости ряда; чтобы просуммировать целый бесконечный ряд в его закрытую форму вместо разложения функции, см. Калькулятор суммы бесконечного ряда.
Конфиденциальность
Этот калькулятор работает полностью в вашем браузере. Выбранная вами функция, количество членов и точка вычисления никогда не загружаются, не регистрируются и не сохраняются.