二项式定理展开计算器

二项式定理展开计算器可展开 (a + b)ⁿ，支持任何最大为 50 的整数指数，列出展开中的每一项及其二项式系数、计算得出的数值系数和代数形式。输入项 a、项 b 和指数 n 即可获得完整展开、逐项分析表和两个运行和。

这个工具为代数和组合数学学生提供支持，帮助他们手工验证二项式展开；为教师准备工作示例；以及为任何需要精确展开但指数太大而无法通过重复乘法展开的人提供支持。

使用方法

1. 输入项 a — 一个整数系数加上一个可选的单字母变量，例如 2x、-y 或 3。
2. 以相同的格式输入项 b。
3. 使用滑块设置指数 (n)，范围从 0 到 50。
4. 读取表达式和完整展开，浏览项表以查看每一项的二项式系数和值，并检查两个系数和。

结果会在您输入时自动更新。例如，a = 2x、b = 3、n = 4 展开为 16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81。

二项式定理

对于整数 n，(a + b)ⁿ 展开为：

(a + b)^n = Σ (k = 0 to n) C(n,k) · a^(n−k) · b^k

每个 C(n,k) — 读作"n 选 k"— 是帕斯卡三角形第 n 行的二项式系数：C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!)。计算器构建帕斯卡三角形直到第 n 行，然后将每个系数与 a^(n−k) · b^k 相乘，得到每一项的最终数值系数。

为什么精确算术在 n = 50 时很重要

像 9 的 50 次方这样的系数有 48 位数字——远超普通浮点数的精确表示能力（在约 15–17 个有效数字之后会失去精度）。这里的每一步——帕斯卡三角形、每一项的系数以及两个运行和——都使用任意精度整数算术计算，因此无论系数或指数有多大，结果都保持精确。

两个系数和

• 二项式系数和 是 C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n)，总是等于 2ⁿ — 不管 a 和 b 实际上是什么。
• 所有系数的和 是每一项的计算得出的数值系数之和（二项式系数乘以 a 和 b 自身系数的幂）。将变量设置为 1 即可看出原因：它始终等于**(a + b)ⁿ** 仅用数值系数求值的结果——对于 2x + 3，即 (2 + 3)^4 = 625，与 16 + 96 + 216 + 216 + 81 相符。

合并相似变量

如果两项都使用同一个变量字母（例如 x 和 x），计算器会将它们的指数合并为一个幂，而不是并排显示——因此 (x + x)^2 显示为 4x^2，而不是 4x^1x^1。不同的变量字母（例如 x 和 y）保持分开，产生混合项如 x^3y。

隐私

此计算器完全在您的浏览器中运行。您的项和指数永远不会被上传、记录或存储——计算在您的设备上本地进行。

相关工具

有关通过不同代数方法求解的相关二项方程，请参阅配方法计算器。